Funzione di variabile complessa

Si definisce funzione di variabile complessa una funzione complessa di una variabile complessa. Essa (genericamente indicata con F(s)) è una legge che associa in modo univoco un punto s di un piano complesso detto dominio, ad un altro punto F di un altro piano complesso detto codominio.

È interessante notare come nel campo complesso le funzioni trigonometriche sono esprimibili in termine della funzione esponenziale e logaritmica.

Le condizioni di analiticità per una funzione di variabile complessa, le condizioni, cioè, in base alle quali tale funzione sia analitica, cioè derivabile, secondo la definizione di Cauchy, sono dette condizioni di Cauchy-Riemann, o condizioni di monogeneità

Esempi

Segue un elenco delle principali Funzioni di variabile complessa: si intenderà che z è una variabile complessa, di parte reale x e parte immaginaria y:

$\mbox{z = x + iy} \frac{}{}$

parte reale: $\Re\ z = x$
parte immaginaria: $\Im\ z = y$
complesso coniugato: $\bar{z} = x - iy$
argomento: $arg\ z = atan\frac{y}{x}$
modulo: $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$
esponenziale: $e^{iz} = \cos z+i \sin z \frac{}{}$
logaritmo: $\ln z = \ln |z| +i \arg z +i2k\pi\ k\in\mathbb{Z}\frac{}{}$
radice: $\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|}*(\cos(\frac{z}{n})+i \sin(\frac{z}{n})) \frac{}{}$
seno: $\sin z = \frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})$
coseno: $\cos z = \frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})$
tangente: $\tan z = \frac{\sin z}{\cos z}$
cotangente: $\cot z = \frac{\cos z}{\sin z}$
secante: $\sec z = \frac{1}{\cos z}$
cosecante: $\csc z = \frac{1}{\sin z}$
arcoseno: $asin z = i*ln(-iz\pm\sqrt{1-z^2})+2k\pi\ k\in\mathbb{Z}$
arcocoseno: $acos z = \mp\ i*\ln(z+\sqrt{z^2-1})+2k\pi\ k\in\mathbb{Z}$
arcotangente: $atan z = \frac{i}{2}\ln\frac{i+z}{i-z}$
seno iperbolico: $\sinh z = \frac{1}{2}(e^{z}-e^{-z})$
coseno iperbolico: $\cosh z = \frac{1}{2}(e^{z}+e^{-z})$
tangente iperbolica: $\tanh z = \frac{\sinh z}{\cosh z}$
cotangente iperbolica: $\coth z = \frac{\cosh z}{\sinh z}$
secante iperbolica: $sech z = \frac{1}{\cosh z}$
cosecante iperbolica: $csch z = \frac{1}{\sinh z}$
settore seno iperbolico: $asinh z = \ln(z+\sqrt{z^2+1})$
settore coseno iperbolico: $acosh z = \ln(z+\sqrt{z^2-1})$
settore tangente iperbolica: $atanh z = \frac{1}{2}\ln\frac{1+z}{1-z}$