Funzione continua
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Definizione globale: Dati due spazi topologici X e Y, una funzione f:X --> Y si dice continua su X se la controimmagine di ogni insieme aperto in Y è un insieme aperto in X.
Definizione locale: siano X e Y due spazi topologici e x un punto di X; una funzione f:X --> Y si dice continua in x se la controimmagine di ogni intorno di f(x) è un intorno di x.
La relazione tra le due definizioni è data dal seguente teorema:
- Una funzione f:X --> Y è continua su X se e solo se è continua in ogni punto di X.
Infatti, se f è continua su X e x un punto di X, la controimmagine di ogni intorno aperto di f(x) è un aperto di X contenente x, è quindi un intorno di x. Viceversa, se f è continua in ogni punto di X e M è un aperto di Y, possiamo avere due casi: 1) la controimmagine di M è l'insieme vuoto (se M non contiene punti dell'immagine di f) ed è quindi un aperto, 2) M contiene un punto f(x), è quindi un intorno di quel punto e la sua controimmagine è un intorno di X, quindi un aperto.
Nel caso di una funzione definita sull'insieme dei numeri reali, si può dare la seguente definizione:
Una funzione y = f(x) è continua in un punto c del suo dominio, se esistono finiti i limiti destro e sinistro per x tendente a c di f(x) e tali valori sono uguali a quello che la funzione assume in c.
Un punto che non goda di queste caratteristiche si chiama punto di discontinuità.
vedi anche:
- matematica, analisi matematica