Equilibrio di Nash
- "Equilibrio di Nash": esiste un insieme di strategie, una per ciascun giocatore, rispetto al quale nessun giocatore ha interesse ad essere l’unico a cambiare.
La nascita del teorema
La prima formulazione di questo teorema, che costituisce la nozione di equilibrio più famosa della "Teoria dei Giochi" per quel che riguarda i "giochi non cooperativi", appare in un brevissimo articolo del 1949 dove John Nash, ancora studente a Princeton, spiega la sua idea di fondere intimamente due posizioni, apparentemente, assai lontane: quella di un "punto fisso" in una trasformazione di coordinate, e quella della strategia più razionale che un giocatore può adottare, quando compete con un avversario anch'esso razionale, estendendo la "Teoria dei Giochi" ad un numero arbitrario di partecipanti, o agenti, e dimostrando che, sotto certe condizioni, esiste sempre una situazione di equilibrio, che si ottiene quando ciascun individuo che partecipa a un dato gioco sceglie la sua mossa strategica in modo da massimizzare la sua funzione di retribuzione, sotto la congettura che il comportamento dei rivali non varierà a motivo della sua scelta (vuol dire che anche conoscendo la mossa dell'avversario, il giocatore non farebbe una mossa diversa da quella che ha deciso).
Tutti i giocatori, possono dunque operare una scelta dalla quale tutti traggono un vantaggio (o limitare lo svantaggio al minimo). Una differenza sostanziale rispetto al caso dei giochi a "somma zero" studiati in precedenza da John von Neumann, dove la vittoria di uno dei due (unici) partecipanti era totale e necessariamente accompagnata dalla sconfitta all'altro.
Il "dilemma del prigioniero"
L'esempio tipico per illustrare un equilibrio di Nash è il cosiddetto "dilemma del prigioniero", in cui le possibili scelte per due prigionieri in celle diverse non comunicanti sono parlare (accusando l'altro) o non parlare.
- Se entrambi non parlano avranno una pena leggera;
- Se entrambi parlano, accusandosi a vicenda, avranno una pena un po' più pesante;
- Se faranno scelte diverse, quello che parla avrà la libertà e l'altro avrà una pena molto pesante.
Se entrambi conoscono queste regole e non prendono accordi, la scelta che corrisponde all'equilibrio di Nash è di parlare, per entrambi. Da questo esempio si vede che la teoria nei casi reali non è sempre la soluzione migliore (o talvolta non è sufficientemente realistica).
Per un'analisi più approfondita di questo esempio vedi l'articolo sul dilemma del prigioniero.
L'equilibrio di duopolio di Cournot e l'economia
Tale nozione di equilibrio costituisce una generalizzazione dell'equilibrio di duopolio che Antoine Augustine Cournot, matematico ed economista, descrisse già nel 1838. Grazie agli studi di Von Neumann e di Nash, e grazie ai successivi apporti di altri matematici, il campo di applicazione della teoria si è esteso notevolmente, mantenendo, però, una vitale importanza per l’economia. È evidente che quando il "gioco" sono i fenomeni economici o il mercato finanziario, la possibilità o la certezza che vi siano delle scelte di equilibrio assume un'importanza cruciale per chi deve prendere decisioni.
La formulazione delle teorie di John Nash portò un radicale cambiamento in questo campo, rivoluzionando l’approccio sino ad allora basato sulle teorie di Adam Smith, considerato fino a quell’epoca "padre dell’economia moderna", definizione formulata anche all’interno del film A Beautiful Mind, diretto da Ron Howard e dedicato alla singolare vita di Nash, da alcuni studenti, prima, però che quest'ultimo dimostrasse le sue teorie.
Secondo Adam Smith, un gruppo ottiene il massimo risultato quando ogni componente del gruppo fa ciò che è meglio per sé stesso: "l'ambizione individuale serve al bene comune", e di conseguenza "il risultato migliore si ottiene quando ogni componente del gruppo fa ciò che è meglio per sé". L’intuizione di Nash, lo porterà ad intuire che tale enunciato è incompleto: "il risultato migliore si ottiene quando ogni componente del gruppo fa ciò che è meglio per sé e per il gruppo, secondo la teoria delle dinamiche dominanti".