Equazioni di Maxwell

Le equazioni di Maxwell sono un sistema di equazioni fondamentale nello studio dei fenomeni elettromagnetici: governano infatti l'evoluzione spaziale e temporale dei campi elettrico e magnetico. Appaiono per la prima volta al completo in forma differenziale, in "A Treatise on Electricity and Magnetism", pubblicato da James Clerk Maxwell nel 1873.

Indice
1 Forma differenziale
2 Correzioni nei materiali
3 Soluzioni delle equazioni
4 Forma tensoriale relativistica
5 Forma integrale
6 Voci correlate
7 Bibliografia
8 Collegamenti esterni

Forma differenziale

Nel caso più generale, in cui i campi dipendano dalle coordinate spaziali e dal tempo, la forma differenziale delle equazioni di Maxwell è, nel sistema di unità di misura internazionale:

\vec \nabla \cdot \vec E = \frac {\rho}{\epsilon_0}
\vec \nabla \times \vec E = -\frac {\partial \vec B}{\partial t}
\vec \nabla \cdot \vec B = 0
\vec \nabla \times \vec B = \mu_0 \vec J + \epsilon_0 \mu_0 \frac {\partial \vec E}{\partial t}

dove ∇· e ∇× sono rispettivamente gli operatori differenziali divergenza e rotore, E è il campo elettrico, B il campo magnetico (o di induzione magnetica), ρ la densità di carica e J il vettore densità di corrente. Le costanti ε0 e μ0 sono dette rispettivamente costante dielettrica del vuoto e permeabilità magnetica del vuoto, e sono legate dalla relazione \frac{1}{c^2} = \epsilon _0 \mu _0, dove c è la velocità della luce. La quarta equazione di Maxwell può dunque essere scritta

c^2 \vec \nabla \times \vec B = \frac {\vec J}{\epsilon _0} + \frac {\partial \vec E}{\partial t}

Quando sono espresse in questa forma, nota anche come microscopica le equazioni di Maxwell descrivono l'evoluzione dei campi elettromagnetici nel vuoto, una volta assegnate densità di carica e densità di corrente. Le stesse equazioni possono anche essere scritte in forma integrale.

Correzioni nei materiali

Per una corretta descrizione dei campi elettromagnetici all'interno dei mezzi materiali, è necessario tenere conto del fatto che questi interagiscono con i campi polarizzandosi e magnetizzandosi. Poiché la polarizzazione e la magnetizzazione della materia generano a loro volta campo elettromagnetico, diviene praticamente intrattabile il problema di un aggregato di un gran numero di molecole in interazione con il campo; risulta preferibile approssimare il mezzo come un continuo, e dare una descrizione macroscopica dei campi, che vanno intesi come valori medi misurati in una zona di spazio che contenga un numero significativamente elevato di molecole. Le equazioni di Maxwell in forma macroscopica divengono

\vec \nabla \cdot \vec D = \rho
\vec \nabla \times \vec E = -\frac {\partial \vec B}{\partial t}
\vec \nabla \cdot \vec B = 0
\vec \nabla \times \vec H = \vec J + \frac {\partial \vec D}{\partial t}

dove i nuovi campi D (induzione o spostamento elettrico) e H (campo magnetico) tengono conto dei contributi delle cariche di polarizzazione e delle correnti di magnetizzazione nella materia:

\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P
\vec H = \frac{1}{\mu_0}\left( \vec B - \vec M \right)

I vettori P (polarizzazione) e M (magnetizzazione) rappresentano valor medio del momento di dipolo elettrico e magnetico per unità di volume.

Indubbiamente, per risolvere le equazioni di Maxwell macroscopiche, è necessario conoscere il valore dei campi P e M: nel caso più semplice di mezzi lineari e isotropi, in cui i vettori polarizzazione e magnetizzazione sono direttamente proporzionali rispettivamente ai campi elettrico e magnetico, le relazioni fra D ed E e fra B ed H (note come relazioni costitutive) divengono le seguenti:

\vec D = \epsilon_0 \epsilon_r \vec E
\vec B = \mu_0 \mu_r \vec H

dove le costanti di proporzionalità εr e μr sono chiamate rispettivamente costante dielettrica e permeabilità magnetica del mezzo. In realtà, tali costanti esprimono solamente l'autointerazione dei campi nelle particelle materiali, come valore medio. Se si guardasse alle singole particelle, sarebbero valide le equazioni generali.

Soluzioni delle equazioni

Dato che la divergenza di B è nulla, siccome la divergenza di un rotore è sempre nulla, esiste un A tale che \vec B = \nabla \times \vec A. A è detto potenziale vettore. Allora possiamo riscrivere la II equazione come

\nabla \times \vec E = - \frac {\partial }{\partial t} \nabla \times \vec A

che può anche essere espressa come

\nabla \times (\vec E + \frac {\partial }{\partial t} \vec A)=0

Consideriamo anche il potenziale elettrico V. Poniamo

- \nabla \cdot V = \vec E + \frac {\partial \vec A}{\partial t}

da cui

\vec E = - \nabla \cdot V - \frac {\partial \vec A}{\partial t}

La relazione I diventa

\nabla \cdot (-\nabla \cdot V - \frac {\partial \vec A}{\partial t}) = \frac {\rho }{\epsilon _0}

cioè

(1): -\nabla ^2 \cdot V - \frac {\partial }{\partial t} \nabla \cdot \vec A = \frac {\rho }{\epsilon _0}

Sostituendo E e B nella IV, abbiamo

c^2 \nabla \times (\nabla \times \vec A) = \frac {\vec J}{\epsilon _0} + \frac {\partial}{\partial t}(- \nabla \cdot V - \frac {\partial \vec A}{\partial t})

ossia

(2): -c^2 \nabla^2 \cdot \vec A + c^2 \nabla (\nabla \cdot \vec A) + \frac {\partial \nabla \cdot V}{\partial t} + \frac {\partial ^2 \vec A}{\partial t^2} = \frac {\rho }{\epsilon _0}

Ora, in generale, se variamo A e V di quantità arbitrarie i campi E e B non variano, però le relazioni tra loro non sono sempre valide. Ma se pongo

\vec A' = \vec A + \nabla \cdot \Psi

e impongo a V' di essere

V' = V - \frac {\partial \Psi}{\partial t}

allora le relazioni restano valide, basta verificare sostituendole nell'espressione di E ricavata sopra. Visto che A è un potenziale vettore, possiamo scegliere ∇·A a piacere. Scegliendo un opportuno valore per ∇ ·A, ad esempio

\nabla \vec A = -\frac {1}{c^2} \frac{\partial V}{\partial t}

e sostituendo in 1 e 2, si ottengono equazioni separate per A e V:

(1): -\nabla ^2 \cdot V + \frac {\partial }{\partial t} \frac {1}{c^2} \frac{\partial V}{\partial t} = \frac {\rho }{\epsilon _0}

cioè

(1): \nabla ^2 \cdot V - \frac {1}{c^2} \frac {\partial ^2 V}{\partial t^2} = - \frac {\rho }{\epsilon _0}

Questa operazione è detta operazione di gauge, ossia calibrazione, dal termine inglese gauge per calibro. Similmente nella 2, eliminando i termini opposti, ottengo

(2): \nabla^2 \cdot \vec A - \frac {1}{c^2} \frac {\partial ^2 \vec A}{\partial t^2} = - \frac {\vec j }{\epsilon _0}

Entrambe queste espressioni sono dei quadrivettori, che descrivono delle onde sferiche che avanzano nello spaziotempo con velocità c.

Per A, ad esempio, esplicitando l'operatore ∇, otteniamo

\frac {\partial ^2 A_x}{\partial x^2} + \frac {\partial ^2 A_y}{\partial y^2} + \frac {\partial ^2 A_z}{\partial z^2} - \frac {1}{c^2} \frac {\partial ^2 A_t}{\partial t^2} = - \frac {\vec j }{\epsilon _0}

Questo permise di enunciare la teoria secondo cui le onde elettromagnetiche e luce sono aspetti differenti della stessa cosa, in quanto mostrano lo stesso comportamento e la stessa velocità. Inoltre, come si vede, erano le prime leggi corrette secondo la teoria della relatività di Einstein, e quindi andavano ad aggiungere un'altra crepa all'edificio già scricchiolante della fisica classica.

Forma tensoriale relativistica

Nota: Per semplicità, consideriamo c = 1

Come abbiamo visto, A e V sono dei quadrivettori. Per rendere conto delle trasformazioni relativistiche, consideriamo i risultati ottenuti prima. Se formiamo un quadrivettore Jμ con i termini noti di 1 e 2, otteniamo:

J_\mu = ( \frac{\rho}{\epsilon _0}, \frac{\vec j}{\epsilon _0})

Se vediamo come abbiamo definito ∇·A

\nabla \vec A + \frac{\partial V}{\partial t}=0

questo ci dà la relazione

\frac {\partial A_x}{\partial x} + \frac {\partial A_y}{\partial y} + \frac {\partial A_z}{\partial z} + \frac {\partial V}{\partial t} = 0

Ma questa non è altro che la condizione di Lorentz per l'invarianza di un quadrivettore. Quindi, con l'operazione di gauge che abbiamo posto prima, intendevamo dire che il quadrivettore formato dalle componenti di A e V è invariante. Ne deriva che il campo elettromagnetico è una teoria di gauge. Il quadrivettore

A_ \mu = ( V, \vec A)

è chiamato quadripotenziale.

Se consideriamo l'operatore d'alembertiano

\Box ^2 = \nabla ^2 - \frac {1}{c^2}\frac {\partial }{\partial t}

e il fatto che c lo poniamo pari a 1, risulta che le equazioni di Maxwell possono essere scritte molto brevemente nella forma

\Box ^2 A \mu + J_ \mu = 0

Le componenti di E e B sono ricavate dalle normali relazioni E = ∇Aμ e B = ∇ × Aμ. Si trova che insieme essi formano un tensore antisimmetrico del secondo ordine F così composto:

F^{\alpha\beta} = \left( \begin{matrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right) .

Forma integrale

Un'altra forma delle equazioni di Maxwell è quella integrale, che viene di seguito riportata nel caso microscopico (\vec n è la normale alla superficie S):

\int_S \vec E \cdot \vec n dS = \frac {1}{\epsilon_0} \int \rho~\operatorname{d}V
\oint_C \vec E \cdot d\vec C = - \frac {\operatorname{d}}{\operatorname{d}t} \int_S \vec B \cdot \vec n dS
\int_S \vec B \cdot \vec n dS = 0
\oint_C \vec B \cdot d\vec C = \mu_0 I + \mu_0\epsilon_0 \int_S \frac{\partial}{\partial t}\vec E \cdot \vec n dS

dove la prima equazione è meglio nota come legge di Gauss, la seconda come legge di Faraday, la quarta come legge di Ampere, mentre la terza è semplicemente l'assenza del monopolo magnetico.

Voci correlate

Bibliografia

Collegamenti esterni

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See also: Equazioni di Maxwell, 1873, Albert Einstein, Campo elettrico, Campo elettromagnetico, Campo magnetico, Carica, Costante dielettrica, Costante dielettrica del vuoto