Equazioni di Hamilton

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Le equazioni di Hamilton descrivono l'evoluzione temporale di un sistema in meccanica classica (nel formalismo hamiltoniano).

Tali equazioni sono:

$\dot{q}_{h} = H_{p_{h}}$ $\dot{p}_{h} = -H_{q_{h}}$

dove $H$ è la funzione hamiltoniana del sistema e $p h$ e $q h$ sono le sue variabili hamiltoniane.

Data una certa grandezza fisica $F$ , essa dipenderà dalle variabili hamiltoniane $p h$ e $q h$ e eventualmente esplicitamente dal tempo :

$F = F [q 1, q 2,... q n,... p n, t]$ .

Per studiarne l'evoluzione temporale scriviamo la derivata rispetto al tempo di $F$ :

$\frac{d}{dt} F[q(t),p(t),t] = \Sigma_s \left( \frac{\partial F}{\partial q_s} \dot{q}_s \,+\,\frac{\partial F}{\partial p_s} \dot{p}_s\right)\,+\, \frac{\partial F}{\partial t}$ .

Se in questa espressione sostituiamo le equazioni di Hamilton e definiamo le parentesi di Poisson come

$\left\{A\,,\,B\right\} \,\equiv \, \Sigma_s \left( \frac{\partial A}{\partial q_s} \frac{\partial B}{\partial p_s} \,-\,\frac{\partial A}{\partial p_s} \frac{\partial B}{\partial q_s}\right)$

Possiamo scrivere

$\frac{d F}{d t} \, = \, \frac{\partial F}{\partial t} \,+\, \left\{ F \, , \, H\right\}$ .

Equazioni di Hamilton

See also: Equazioni di Hamilton, Fisica, Glossario fisico, Meccanica classica