Equazione quadratica

Indice

1 Generalità

2 Equazioni quadratiche incomplete

2.1 Equazione spuria
2.2 Equazione pura

3 Equazioni complete

4 Risoluzione

5 Forma ridotta della formula risolutiva

6 Relazioni tra radici e coefficienti

7 Scomposizione in fattori del trinomio

8 Regola dei segni

9 Voci correlate

Generalità

Si chiamano equazioni quadratiche le equazioni algebriche di secondo grado ad una incognita, cioè quelle riconducibili alla forma:

$ax^2 + bx + c = 0 \,$

con $a \ne 0 \,$ .

Le equazioni di secondo grado possono ammettere due, una o nessuna soluzione reale, mentre le soluzioni complesse sono in ogni caso 2 (eventualmente coincidenti). Sono particolarmente semplici nella risoluzione le equazioni incomplete, ossia quelle in cui il secondo e/o il terzo coefficiente sono nulli.

Equazioni quadratiche incomplete

Equazione spuria

Dicesi spuria un’equazione di secondo grado che manca del termine noto, ossia della forma:

$ax^2 + bx = 0 \,$

Un’equazione di questo tipo si risolve facilmente tramite scomposizione:

$x(ax + b) = 0 \,$

Per la legge di annullamento del prodotto quest’equazione è equivalente alle due:

$x = 0 \,$ e $ax + b = 0 \,$

E in definitiva le soluzioni sono $x = 0 \,$ e $x = -\frac{b}{a} \,$

Equazione pura

Un’equazione di secondo grado si dice pura se manca del termine di primo grado, cioè è della forma:

$ax^2 + c = 0 \,$

Portando $c$ a secondo membro e dividendo per $a$ si ottiene:

$x^2 = -\frac{c}{a} \,$

Se $-\frac{c}{a} < 0 \,$ , l’equazione non ammette soluzioni reali; viceversa, se $-\frac{c}{a} > 0 \,$ , l’equazione è risolta da:

$x = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} \,$

Osserviamo che nel caso banale in cui anche $c = 0$ , allora l’equazione ammette come unica soluzione $x = 0$ .

Equazioni complete

Un’equazione di secondo grado viene detta completa quando tutti i suoi coefficienti sono diversi da 0. Anzitutto portiamo $c$ a secondo membro:

$ax^2 + bx = -c \,$

Moltiplichiamo per $4 a$ , che sappiamo essere diverso da 0, ottenendo:

$4a^2x^2 + 4abx = -4ac \,$

Notiamo che $4a^2x^2 = (2ax)^2 \,$ e $4abx = 2 \cdot ax \cdot b \,$ : dunque per fare in modo che al primo membro si abbia un quadrato di binomio, aggiungiamo $b^2 \,$ ad ambo i membri:

$4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac \,$

ovvero:

$(2ax + b)^2 = b^2 - 4ac \,$

Il secondo membro di quest’equazione è detto discriminante e viene spesso indicato con la lettera greca $Δ$ . Se $b^2 - 4ac < 0 \,$ evidentemente non ci sono soluzioni reali. In caso contrario possiamo scrivere:

$2ax + b = \pm \sqrt{b^2 - 4ac} \,$

che con semplici passaggi possiamo riscrivere come:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \,$

Quest’ultima è la formula risolutiva delle equazioni quadratiche.

Risoluzione

Alla luce della dimostrazione precedente, è chiaro che, nella risoluzione di un’equazione quadratica, è anzitutto necessario calcolare il discriminante $\Delta = b^2 - 4ac \,$ . Si distinguono tre casi:

Se $\Delta < 0 \,$ , abbiamo già osservato che l’equazione non ha soluzioni reali.
Se $\Delta = 0 \,$ , la formula risolutiva diventa:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} = -\frac{b}{2a} \,$ Partanto la soluzione è unica o, come spesso si dice, le due radici sono coincidenti (o ancora vi è una radice doppia).

Se $\Delta > 0 \,$ , infine, vi sono due soluzioni distinte:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \,$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \,$

Forma ridotta della formula risolutiva

Nel caso in cui il coefficiente del termine di primo grado sia un numero pari oppure un’espressione algebrica in cui si possa mettere in evidenza il fattore 2, è possibile semplificare la formula risolutiva con la posizione $t = b/2 \,$ . In questo caso, infatti:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{4t^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-t \pm \sqrt{t^2 - ac}}{a} \,$

Relazioni tra radici e coefficienti

Poniamo $s = x_1 + x_2 \,$ e $p = x_{1}x_2 \,$ . Sommando membro a membro le due soluzioni abbiamo:

$\begin{matrix}s &=& x_1 + x_2 & =& \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} & =& \frac{-2b}{2a} & =& -\frac{b}{a} \end{matrix}$

Effettuando invece il prodotto membro a membro abbiamo:

$\begin{matrix}p &=& x_{1}x_2 & =& \frac{(-b - \sqrt{b^2 - 4ac})(-b + \sqrt{b^2 - 4ac})}{4a^2} \\ \ & =& \frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2 - 4ac})^2)}{4a^2} \\ \ & =& \frac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2} \\ \ & =& \frac{c}{a} \end{matrix} \,$

Queste due relazioni ci consentono di determinare somma e prodotto delle radici senza risolvere l'equazione. Inoltre, se riscriviamo la generica equazione di secondo grado nella cosiddetta forma normale:

$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 \,$

con banali sostituzioni si ottiene la forma:

$x^2 - sx + p = 0 \,$

Scomposizione in fattori del trinomio

Consideriamo il polinomio completo di secondo grado:

$ax^2 + bx + c \,$

supponendo anche che il discriminante dell'equazione che si otterrebbe uguagliando a zero il polinomio sia positivo (ipotesi non necessaria nel campo dei numeri complessi). Raccogliendo $a$ si ottiene:

$a(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}) \,$

Abbiamo già trovato prima che $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \,$ e $x_{1}x_2 = \frac{c}{a} \,$ . Dunque:

$\begin{matrix} a[x^2 + -(x_1 + x_2)x + x_{1}x_2] &=& a[x^2 - x_{1}x - x_{2}x + x_{1}x_2] \\ \ & =& a[x(x - x_1) - x_{2}(x - x_1)] \\ \ & =& a(x - x_1)(x - x_2) \end{matrix} \,$

Regola dei segni

La regola dei segni o di Cartesio consente di determinare il segno delle radici di un'equazione completa con discriminante positivo. Consideriamo, nell'ordine, i segni di $a$ , $b$ , $c$ . Possiamo assumere che sia $a > 0$ , a meno di moltiplicare entrambi i termini per -1. Ci sono 4 possibili combinazioni:

a	b	c
+	+	+
+	+	-
+	-	+
+	-	-

Primo caso: $a, b, c > 0 \,$ . Ricordando che $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \,$ e $x_{1}x_2 = \frac{c}{a} \,$ , segue che il loro prodotto è positivo e la loro somma negativa, per cui entrambe le soluzioni sono negative.
Secondo caso: $a, b > 0 \,$ e $c < 0 \,$ . Allora il prodotto delle radici è negativo (che implica che sono discordi) e la somma è negativa (che implica che la soluzione negativa è in valore assoluto maggiore di quella positiva).
Terzo caso: $a > 0 \,$ e $b, c < 0 \,$ . Allora il prodotto delle radici è negativo (che implica di nuovo che sono discordi) ma la somma è negativa (dunque la soluzione positivo è maggiore in valore assoluto).
Quarto caso: $a, c > 0 \,$ e $b < 0 \,$ . Allora il prodotto delle radici è positivo come pure la loro somma, implicando che entrambe le radici sono positive.

Chiamando permanenza ogni successione di due segni uguali e variazione ogni successione di segni contrari, possiamo riassumere i risultati precedenti affermando che ad ogni permanenza corrisponde una soluzione negativa e ad ogni variazione una soluzione positiva; quando le radici sono discordi, in valore assoluto è maggiore quella positiva se la variazione precede la permanenza; quella negativa se la permanenza precede la variazione.

Voci correlate

Equazione
Equazione cubica
Equazione quartica
Radicale