Equazione differenziale

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Un'equazione differenziale è, genericamente parlando, una relazione tra una funzione di una o più variabili e le sue derivate. Nel caso di più variabili, si parla di equazione differenziale alle derivate parziali. In simboli, un'equazione differenziale in una variabile può essere scritta nella forma:

f(x,u(x),u'(x),...,un(x)) = 0

Si dice ordine o grado dell'equazione il grado della più alta derivata presente, ad esempio se abbiamo y''=f(x,y,y'), allora è un'equazione differenziale del 2° ordine.

Nel caso di una funzione u a più variabili, con le relative derivate parziali, si può scrivere

f \left ( x_1, \cdots , x_k , u , \cdots, u_{x_l, \cdots , x_m}^n \right ) = 0

Generalmente, trovare una funzione che soddisfi l'equazione, cioè darne una soluzione esplicita, è difficile se non impossibile. Tuttavia, è quasi sempre possibile un'integrazione tramite metodi di calcolo numerici.

Nel corso dei secoli, sin da prima che Leibniz e Newton formalizzassero il calcolo infinitesimale, sono stati trovati alcuni casi in cui è possibile trovare la soluzione. Alcuni permettono di trovare una soluzione esplicita, ossia y = f(x), altri implicita, cioè nella forma

f(y) = g(x)

che può essere portata in forma esplicita solo se f è invertibile, nel qual caso si ha

y=f^{-1}\left( g(x) \right )
Indice
1 Soluzioni delle equazioni differenziali

1.1 Soluzione delle equazioni differenziali del 1° ordine
1.2 Equazioni differenziali lineari

1.2.1 Equazioni differenziali a variabili separabili
1.2.2 Equazioni differenziali esatte
1.2.3 Problema di Cauchy

2 Polinomio associato
3 Metodo di Eulero
4 Equazioni differenziali alle derivate parziali
5 Sistemi di equazioni differenziali

Soluzioni delle equazioni differenziali

La soluzione di una o più equazioni differenziali è detta anche integrale dell'equazione. Esistono vari metodi risolutivi, sia particolari che generali.

Soluzione delle equazioni differenziali del 1° ordine

Non esiste un'unica formula risolutiva valida per tutti i tipi di equazioni differenziali del primo ordine, ma esistono diversi casi:

Equazioni differenziali lineari

Vedi articolo principale Equazione differenziale lineare

Le equazioni differenziali lineari del primo ordine hanno la forma canonica y'=f(x,y), dove la y è lineare. Soluzioni particolari di queste equazioni vennero trovate da Isaac Newton, Leibniz e molti altri esponenti della genesi del calcolo infinitesimale. Tuttavia, la soluzione generica venne trovata da uno dei Bernoulli, Jean. Essa ha la forma

y= e ^{\int g} \left ( \int f e^{-\int g} + c \right )

Equazioni differenziali a variabili separabili

Questo tipo di equazioni differenziali può essere scritto nella forma

f(y) \frac {dy} {dx}=g(x)

La cui soluzione è

\int f(y) {dy} =\int g(x){dx}

È una soluzione implicita, da cui si ricava una soluzione esplicita se f è invertibile, altrimenti si può ricorrere all'analisi numerica.

Equazioni differenziali esatte

Vedi l'articolo principale Equazione differenziale esatta

Un terzo tipo di equazioni differenziali del primo ordine risolvibili analiticamente sono quelle riconducibili ad un differenziale esatto. Un'equazione di questo tipo può essere scritta come

p(x,y) + q(x,y) \frac {dy} {dx}=0

dove p e q sono due funzioni qualunque. Consideriamo le derivate parziali di p rispetto ad y e di q rispetto a x: se queste due sono uguali, avremo un differenziale esatto. In simboli

\frac {\partial p(x,y)} {\partial y} = \frac {\partial q(x,y) } {\partial x}

La soluzione generale è

P(x,y) = \int {p(x,y)dx} + \int { \left \{ q(x,y) - \left [ \int {p(x,y)dx} \right ] _y \right \} dy} + C

oppure

Q(x,y) = \int {q(x,y)dy} + \int { \left \{ p(x,y) - \left [ \int {q(x,y)dy} \right ] _x \right \} dx} + C

Queste sono soluzioni implicite, per cui vale il discorso riguardo l'invertibilità della soluzione. Alcuni casi in cui le derivate miste non sono uguali, possono essere ricondotti a questo tramite un opportuno fattore d'integrazione μ per cui si abbia

\frac {\partial [\mu p(x,y)]} {\partial y} = \frac {\partial [ \mu q(x,y)] } {\partial x}

Problema di Cauchy

...

Polinomio associato

Metodo di Eulero

Equazioni differenziali alle derivate parziali

Sistemi di equazioni differenziali

See also: Equazione differenziale, Analisi numerica, Bernoulli, Derivata, Equazione, Equazione di Clairaut, Equazione di d'Alembert