Equazione di Klein-Gordon

separatore

</div>

Questo è un articolo di Fisica, che presuppone la conoscenza dei seguenti principi:

Equazione di Schrödinger
Hamiltoniana
Funzione d'onda
Relatività generale

separatore

Fisica
MilliBar il Bar della fisica
Progetto Fisica
Glossario Fisico
Calendario degli eventi
Immagini
Portale Fisica Portale Chimica

L'equazione di Klein-Gordon, che descrive il moto delle particelle a spin intero (i bosoni), nasce dall'esigenza di voler inserire il formalismo della relatività generale all'interno della meccanica quantistica, e quindi riscrivendo con la notazione covariante l'equazione di Schrödinger:

$i \hbar \frac {\partial}{\partial t} \psi = H \psi$

con

$H = -i \hbar^2 \left ( \frac {\nabla^2}{2m} + V \left ( \vec x \right ) \right )$

Realizzare un'equazione quantistica relativistica, però, non è molto semplice, soprattutto poiché in relatività manca la distinzione tra energia cinetica e potenziale. Infatti, per una particella libera, l'energia non relativistica è solo di movimento:

$E = \frac {p^2}{2m}$

mentre in relatività si ha un'espressione per l'energia totale:

$E = \sqrt {p^2 + m^2}$

L'ovvia posizione, allora, sarebbe riproporre una soluzione simile a quanto fatto con l'equazione di Schrodinger:

$E \psi = \sqrt {p^2 + m^2} \psi$

ma in questo modo, quando si va a sostituire all'impulso l'operatore nabla, ci si trova di fronte alla radice quadrata di un operatore.

L'idea per ovviare a questo inconveniente è quindi di proporre una sorta di quadrato di quest'ultima equazione:

$E^2 \Phi = \left ( p^2 + m^2 \right ) \Phi$

che, sostituendo all'energia l'operatore di evoluzione temporale, diventa, in unità naturali:

$\left ( \frac {\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 \right ) \Phi + m^2 = 0$

Scritta per la prima volta da Klein-Gordon, in notazione covariante assume una forma molto compatta:

$\partial^\mu \partial_\mu \Phi + m^2 \Phi = 0$

dove ∂^μ ∂_μ è anche detto operatore d'alambertiano.

Il vantaggio di questa equazione è quello di trattare tempo e spazio nello stesso modo, mentre l'operatore d'alambertiano risulta essere un invariante. Per contro, però, ci sono alcuni inconvenienti. Innanzitutto, come soluzione di tale equazione, possono esistere anche stati ad energia negativa, quindi c'era il problema di dare un significato alla funzione d'onda.

Per Schrodinger, infatti, il modulo della funzione d'onda rappresenta la densità di probabilità:

$| \psi |^2 = \rho \left ( \vec x , t \right )$

e quindi

$\int \operatorname d^3 x | \psi |^2$

ottenendo:

$\frac {\operatorname d}{\operatorname d t} \int \operatorname d^3 x \left | \psi \left ( \vec x , t \right ) \right |^2 = 0$

Questa proprietà dovrà essere verificata anche per la densità di probabilità ottenuta dall'equazione di Klein-Gordon:

$\rho_{KG} = \frac {1}{2i} \left [ \bar {\Phi} \frac {\partial \Phi}{\partial t} - \overline {\bar {\Phi} \frac {\partial \Phi}{\partial t}} \right ]$

Questa ρ_KG non è sempre definita positiva, ma può anche essere negativa o nulla.

Prima di capire che questa equazione era utile per descrivere le particelle a spin intero, fu Dirac a preoccuparsi di realizzare un'equazione quantistica relativistica che ovviasse, per quanto possibile, agli inconvenienti introdotti da quella di Klein-Gordon, ottenendo alla fine la altrettanto famosa equazione di Dirac.

Equazione di Klein-Gordon Equazione di Klein-Gordon

Equazione di Klein-Gordon

See also: Equazione di Klein-Gordon, Bosone, Densità, Energia, Equazione, Equazione di Dirac, Equazione di Schrödinger, Fisica