Equazione algebrica
Si chiamano equazioni algebriche o polinomiali quelle equazioni equivalenti o comunque riconducibili ad un polinomio uguagliato a zero. Il grado di tale polinomio è anche il grado dell’equazione.
Un’equazione algebrica è detta fratta (o frazionaria) se l’incognita compare al denominatore di una frazione; in caso contrario, l’equazione si dice intera. Si conviene inoltre definire irrazionali le equazioni in cui l’incognita compare sotto il segno di radice, e razionale in caso contrario. A queste si aggiungono le equazioni parametriche, in cui sono presenti delle quantità variabili dette parametri.
Un’equazione polinomiale di grado n in una incognita si può esprimere nella forma:
- anxn + an−1xn−1 + ··· + a1x + a0 = 0
dove gli ai sono numeri reali (o in generale complessi) e x è l’incognita da determinare. Il tipo più semplice di equazioni algebriche sono le equazioni lineari, cioè di primo grado. In virtù del teorema fondamentale dell'algebra ogni equazione di grado n ammette esattamente n soluzioni (radici) nel campo complesso. Le equazioni di secondo grado sono chiamate quadratiche; seguono le cubiche e le quartiche. Per il teorema di Abel-Ruffini le equazioni di grado superiore al quarto non sono generalmente risolvibili per radicali. Tra le equazioni particolari di grado superiore si ricordano: equazioni binomie (axn + b = 0), equazioni biquadratiche (ax4 + bx2 + c = 0), equazioni trinomie (ax2n + bxn + c = 0), equazioni reciproche (in cui, se un numero è soluzione, lo è anche il suo reciproco).