Entanglement quantistico

separatore

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Questo è un articolo di Fisica, che presuppone la conoscenza dei seguenti principi:

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Meccanica quantistica
Postulati della meccanica quantistica Principio di indeterminazione di Heisenberg Equazione di Schrödinger Regola di quantizzazione di Dirac Teorema di Ehrenfest Quantizzazione del momento angolare Spin Coefficienti di Clebsh-Gordan Teoria perturbativa Principio di esclusione di Pauli QFT QED QCD
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L'entanglement<I> quantistico (a volte tradotto con "non-separabilità") è un fenomeno quantistico, privo di analogo classico, in cui ogni stato quantico di un insieme di due o più sistemi fisici dipende dagli stati di ciascuno dei sistemi che compongono l'insieme, anche se questi sistemi sono separati spazialmente. Uno stato entangled implica la presenza di correlazioni tra le quantità fisiche osservabili dei sistemi coinvolti. Per esempio, è possibile realizzare un sistema costituito da due particelle il cui stato quantico sia tale che - qualunque sia il valore di una certa proprietà osservabile assunto da una delle due particelle - il corrispondente valore assunto dall'altra particella sarà opposto al primo (e ciò nonostante il fatto che sia impossibile, secondo la meccanica quantistica, predire il risultato di queste misure. Di conseguenza in presenza di entanglement la misura effettuata su un sistema sembra influenzare istantaneamente lo stato di un'altro sistema (in realtà, è facile mostrare che la misurazione non c'entra niente; quanto detto ha significato solamente in relazione al risultato della misurazione, non all'atto del misurare). Esiste però un teorema che sancisce l'impossibilità di trasmettere, tramite questa proprietà, l'informazione ad una velocità superiore a quella della luce (anzi, per meglio dire, non è possibile sfruttare affatto questa proprietà per nessun tipo di trasmissione, proprio perché è impossibile determinare l'esito di una misura tramite l'atto del misurare).

L'entanglement quantistico è alla base di tecnologie emergenti come i computer quantistici e la crittografia quantistica, ed ha permesso esperimenti relativi al teletrasporto quantistico. Allo stesso tempo, esso costituisce una difficoltà, dal punto di vista epistemologico, per la teoria quantistica, in quanto è incompatibile con il principio apparentemente ovvio e realistico della località, per il quale il passaggio di informazione tra diversi elementi di un sistema può avvenire soltanto tramite interazioni causali successive, che agiscano spazialmente dall'inizio alla fine (per intendersi, secondo il principio di località, il mio pugno può colpire il tuo naso solo se io sono abbastanza vicino a te, o se sono in grado di mettere in moto meccanismi che, passo dopo passo, giungano fino al tuo naso). Differenti interpretazioni del fenomeno dell'entanglement portano a differenti interpretazioni della meccanica quantistica.

All'inizio del XXI secolo, comunque, alcuni fisici hanno cominciato ad analizzare la meccanica quantistica nei termini dell'informazione quantistica contenuta in un sistema. Con questo approccio, l'entanglement e altri comportamenti tipici dei sistemi quantistici sono banali derivazioni di teoremi sull'informazione contenuta nei sistemi stessi.

Indice

1 Background

2 Formalismo

3 Entropia

4 Insiemi

5 Bibliografia essenziale

6 Collegamenti esterni

Background

L'entanglement è una delle proprietà della meccanica quantistica che portarono Einstein e altri a essere insoddisfatti della teoria. Nel 1935 Einstein, Poldosky e Rosen formularono il paradosso EPR, dimostrando, facendo uso dell'entanglement, che la meccanica quantistica è una teoria non locale. È comunque vero che la meccanica quantistica si è dimostrata in grado di produrre corrette previsioni sperimentali fino ad una precisione mai raggiunta prima e che le correlazioni associate al fenomeno dell'entanglement quantistico sono state osservate. È stata proposta una interpretazione dell'entanglement conosciuta come teoria delle variabili nascoste nella quale gradi di libertà sconosciuti causerebbero le correlazioni, ma è stato mostrato nel 1964 da Bell che è comunque possibile distinguere la teoria quantistica da una teoria di variabili nascoste locale, essendo in quest'ultimo caso le correlazioni presenti più deboli. Nel 1999 una serie di esperimenti, svolti da Alain Aspect e altri, hanno provato che le correlazioni misurate seguono le previsioni della meccanica quantistica.
Sebbene non si possa trasmettere informazione attraverso il solo entanglement, l'utilizzo di un canale di comunicazione classico in congiunzione con uno stato entangled permette il teletrasporto di uno stato quantistico, il quale sarebbe impossibile con il solo canale classico, dato che uno stato quantistico richiede una infinita quantità di informazione per essere determinato. All'atto pratico, come conseguenza del teorema di no-cloning quantistico, questa informazione non può comunque essere letta integralmente. Tuttavia questa ricchezza di informazione può essere impiegata nei calcoli. Per maggiori informazioni, vedi l'articolo sull'informatica quantistica.

Formalismo

Si considerino due sistemi non interagenti A e B a cui sono associati i rispettivi spazi di Hilbert H_A e H_B. Lo spazio di Hilbert del sistema composto, secondo i postulati della meccanica quantistica, è il prodotto tensoriale

$H_A \otimes H_B$

Se il primo sistema è nello stato $| \psi \rangle_A$ e il secondo è nello stato $| \psi \rangle_B$ lo stato del sistema composto è

$|\psi\rangle_A \; |\phi\rangle_B$ .

Stati di questo tipo vengono chiamati stati separabili.
Date due basi {|i⟩_A} e {|i⟩_B} associate alle osservabili Ω_A e Ω_B è possibile scrivere gli stati puri di cui sopra come

$\left( \sum_i a_i |i\rangle_A \right) \left( \sum_j b_j |j\rangle_B \right)$ ,

per una certa scelta dei coefficienti complessi a_i and b_j. Questo non è lo stato piu' generale di $H_A \otimes H_B$ , il quale ha la forma

$\sum_{i,j} c_{ij} |i\rangle_A \; |j\rangle_B$ .

Se questo stato non è separabile è chiamato stato entangled.

Entropia

Quantificare l'entanglement è un importante passo avanti per una migliore comprensione del fenomeno.Il metodo delle matrici di densità ci fornisce una misura formale dell'entanglement. Se |Ψ⟩ è il sistema composto, l'operatore di proiezione per questo stato è

$\rho_T = |\Psi\rangle \; \langle\Psi|$ .

Definiamo la matrice di densità del sistema A, un operatore lineare nello spazio di Hilbert del sistema A, come la traccia di ρ_T nella base del sistema B:

$\rho_A \equiv \sum_j \langle j|_B \left( |\Psi\rangle \langle\Psi| \right) |j\rangle_B = \hbox{Tr}_B \; \rho_T$ .

Ad esempio, la matrice di densità di A per lo stato entengled discusso sopra è

$\rho_A = (1/2) \left( \; |0\rangle_A \langle 0|_A + |1\rangle_A \langle 1|_A \; \right)$

e la matrice densità di A per lo stato puro discusso sopra risulta

$\rho_A = |\psi\rangle_A \langle\psi|_A$ .

Questo è semplicemente l'operatore di proiezione di |ψ⟩_A. Si noti che la matrice di densità del sistema composto, ρ_T, prende anche questa forma. Ciò non ci stupisce, in quanto avevamo assunto che lo stato del sistema composto fosse puro.
In generale, data un matrice di densità ρ, possiamo calcolare la quantità

$S = - k \hbox{Tr} \left( \rho \ln{\rho} \right)$

dove k è la costante di Boltzmann, e la traccia è presa sullo spazio H in cui è definita ρ. Risulta che S è esattamente l'entropia del sistema corrispondente ad H.
L'entropia di ogni stato puro è nulla, in quanto non vi è incertezza sullo stato del sistema. L'entropia di ognuno dei due sottosistemi dello stato entangledprecedentemente esaminato è kln 2 , che si può dimostrare essere l'entropia massima per un sistema ad un solo livello. Se il sistema nel suo insieme è puro, l'entropia dei suoi sottosistemi può essere utilizzata per misurare il loro grado di correlazione con gli altri sottosistemi.
Si può anche dimostrare che gli operatori unitari che agiscono su uno stato, come l'evoluzione temporale ricavata dall'equazione di Schrödinger, lasciano invariata l'entropia. Quindi la reversibilità di un porcesso è legata alla sua variazione di entropia, il che è un risultato profondo che lega la meccanica quantistica all'informatica e alla termodinamica.

Insiemi

Il formalismo delle matrici di densità è anche utilizzato per descrivere gli insiemi quantistici, collezioni di identici sistemi quantistici.
Si consideri una "scatola nera" che emette elettroni verso un osservatore. Gli spazi di Hilbert degli elettroni sono identici. L'apparato può produrre elettroni che sono tutti nello stesso stato; in tal caso, gli elettroni ricevuti dall'osservatore sono detti insieme puro.
Tuttavia, l'apparato può anche produrre elettroni che hanno stati differenti. Ad esempio, può produrre due popolazioni di elettroni: una con lo stato |z+⟩ (spin allineati con la direzione delle z positive), e l'altra con lo stato |y-⟩ (spin allineati con la direzione delle y negative). In generale, possono esservi qualsiasi numero di stati differenti per gli elettroni prodotti: in tal caso si ha un insieme misto.
Possiamo descrivere un insieme come una collezione di popolazioni, ognuna con peso p_i e stato|α_i⟩. La matrice di densità dell'insieme è definita come:

$\rho = \sum_i p_i | \alpha_i \rangle \langle \alpha_i |$ .

Tutti i risultati precedenti riguardo matrici di densità ed entropia sono consistenti con questa definizione. Questo e l'ipotesi a molti mondi fanno ritenere a molti fisici che tutti gli insiemi misti possano essere spiegati come stati quantici entangled.
Il teorema Reeh-Schlieder è visto a volte come l'equivalente dell'entanglement quantistico nella teoria quantistica dei campi.

Bibliografia essenziale

David Z. Albert, Meccanica quantistica e senso comune, Adelphi.

Collegamenti esterni

Quantum Entanglement For Dummies (in inglese)
La meccanica quantistica come informazione quantistica (in inglese)

See also: Entanglement quantistico, 1935, 1964, 1999, Albert Einstein, Base ortonormale, Coefficienti di Clebsh-Gordan, Correlazione