Energia media di un sistema quantistico

separatore

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Questo è un articolo di Fisica, che presuppone la conoscenza dei seguenti principi:

notazione bra-ket
hamiltoniana
numero complesso
ampiezza di probabilità

separatore

Energia media di un sistema quantistico

separatore

Meccanica quantistica
Postulati della meccanica quantistica Principio di indeterminazione di Heisenberg Equazione di Schrödinger Regola di quantizzazione di Dirac Teorema di Ehrenfest Quantizzazione del momento angolare Spin Coefficienti di Clebsh-Gordan Teoria perturbativa Principio di esclusione di Pauli QFT QED QCD
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Supponiamo di avere un sistema in un certo stato, diciamo ψ. Se ne misuriamo N volte l'energia, poiché ogni energia ha una certa ampiezza di probabilità, otterremo misurazioni diverse. Chiamiamo E_i l'energia dell'i-esimo stato con energia definita, in cui supponiamo di scomporre ψ. Ogni stato avrà l'ampiezza di probabilità C_i, e la somma dei quadrati delle ampiezze è, per stati normalizzati, pari ad 1, in quanto rappresenta la somma delle varie probabilità. Poiché ogni stato deve avere un'energia, ciò è ovvio. L'energia media <B> può essere dunque ottenuta tramite la somma

$E_{media} = \Sigma_i E_i \left|C_i\right|^2$

che, per le proprietà dei numeri complessi coniugati, equivale a

$E_{media} = \Sigma_i C_i E_i C_i^*$

Dalla definizione di ampiezza di probabilità, si ha che

$C_i= \left\langle \psi | \nu_i \right \rangle$

e che

$C_i^*= \left\langle \nu_i | \psi \right \rangle$

sostituendo si ottiene

$\Sigma_i C_i E_i C_i^* = \Sigma_i \left\langle \psi | \nu_i \right \rangle E_i \left\langle \nu_i | \psi \right \rangle$

Consideriamo ora $\left\langle \psi \right |$ costante, significando che lo stato non cambia durante la somma, e portiamolo a fattore comune davanti alla somma. Otterremo dunque

$\left\langle \psi \right | \left( \Sigma_i \left | \nu_i \right \rangle E_i \left\langle \nu_i | \psi \right \rangle \right)$

Se poniamo la sommatoria pari a $\left | \varphi \right \rangle$ , l'espressione ha la forma $\left\langle \psi |\varphi \right \rangle$ . Per le proprietà dell'hamiltoniana,

$H \left | \nu_i \right \rangle = E_i \left | \nu_i \right \rangle = \left | \nu_i \right \rangle E_i$

L'ultimo passaggio è possibile in quanto E_i è semplicemente un numero. Sostituendo questo valore nella sommatoria, si ha

$\Sigma_i H \left | \nu_i \right \rangle \left \langle \nu_i | \psi \right\rangle = H \Sigma_i \left | \nu_i \right \rangle \left \langle \nu_i | \psi \right \rangle$

Il valore della sommatoria a destra è proprio pari a $\left | \psi \right \rangle$ . Se ricordate da dove si era partiti, andiamo a sostituire questo valore al posto della prima sommatoria e otterremo

$\left \langle \psi | H | \psi \right \rangle$

e questo risulta essere pari all'energia media dello stato considerato.
Questo risultato, essendo basato sulle proprietà dell'operatore più che dello stato o dell'hamiltoniana, rimane valido per qualunque operatore, e dunque in generale, detto A l'operatore, il valore medio sullo stato ψ dell'osservabile a legato all'operatore sarà $a_{medio} = \left \langle \psi | A | \psi \right \rangle$

Variazione temporale dell'energia media

Analizziamo come varia l'energia media di uno stato ψ col passare del tempo. Facciamo un discorso generale, legato solo agli operatori. Prendiamo la derivata di quanto ottenuto prima, $\frac \partial {\partial t} A_{medio} = \left \langle \psi(t) | \dot A | \psi(t) \right \rangle$
Dato che ψ varia col tempo, consideriamo l'espressione sopra come un prodotto. Ricordando che vale per l'hamiltoniana

$H \left | \psi \right \rangle = i \hbar \frac \partial {\partial t}\left | \psi \right \rangle$

dove $\hbar$ è la costante di Planck normalizzata o costante di Dirac, la derivata rispetto al tempo di $\left \langle \psi(t) | A | \psi(t) \right \rangle$ è

$\frac \partial {\partial t} A_{medio} = \frac i \hbar \frac \partial {\partial t}\left \langle \psi(t) \right | A - \frac i \hbar \frac \partial {\partial t} A \left| \psi(t) \right \rangle$

cioè

$\frac \partial {\partial t} A_{medio} = \left \langle \psi(t) | \frac i \hbar (HA-AH) | \psi(t) \right \rangle$

Ne segue che l'operatore $\dot A$ è proprio

$\frac i \hbar (HA-AH)$

Se l'operatore A fosse stato a sua volta funzione del tempo, con un ragionamento analogo avremmo ottenuto

$\frac i \hbar (HA-AH) + \frac \partial {\partial t} A$

Notare che gli operatori, in generale, non commutano, e proprio per questo <b>HA - AH non è nullo. Questo semplice fatto è alla base di tutti i comportamenti e le regole della meccanica quantistica diverse dal caso classico, in cui di norma il valore dell'espressione data sopra sarebbe nullo.

Vedi anche

Teorema di Ehrenfest

Energia media

Energia media di un sistema quantistico

Energia media di un sistema quantistico

Variazione temporale dell'energia media

Vedi anche

See also: Energia media di un sistema quantistico, Coefficienti di Clebsh-Gordan, Costante di Planck, Cromodinamica quantistica, Elettrodinamica quantistica, Equazione di Schrödinger, Fisica, Glossario fisico