Variabile casuale binomiale

La variabile casuale Binomiale o Bernoulliana è una variabile casuale discreta che viene usata in particolar modo per descrivere l'estrazione semplice (ovvero con riposizione). Per alcuni la v.c. Bernoulliana in senso stretto è solo quella con n=1 (vedasi). La v.c. Binomiale viene chiamata pure formula di Bernoulli.

La v.c. Binomiale è definita dalla seguente funzione di probabilità:

$P(k) = {n \choose k} p^k (1 - p)^{n - k}$

dove

${n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ (coefficienti binomiali)

k è un numero intero non negativo (k=0,1,2,3,...,n)

p è un valore compreso tra 0 e 1 esclusi (0<p<1)

per conseguenza, la funzione generatrice dei momenti è:

$g(t) = \left(1-p + p e^t \right)^n$

Il valore attesto μ e la varianza σ² sono

μ = n p

$\sigma^2 = n p \left( 1 - p \right)$

Gli indici di simmetria β₁ e curtosi β₂ sono

$\beta_1 = \frac{(q-p)^2}{npq}$

$\beta_2 = 3 + \frac{1-6pq}{npq}$

Se n è molto grande (orientativamente n>50) e p molto piccolo, tale che n p è, orientativamente, minore di 10 e p(1-p) quasi uguale a p, allora la binomiale può essere approssimata con una variabile casuale Poissoniana ove λ = n p.

Se n è molto grande, ma np>10 (e dunque non vale l'approssimazione con la poissoniana), allora la binomiale può essere approssimata con una variabile casuale Normale con valore atteso pari a np e varianza uguale a npq: N( np ; npq).

Vedi anche:

variabile casuale Ipergeometrica (estrazioni in blocco, senza riposizione)
variabile casuale Poissoniana, v.c. Normale
variabile casuale discreta
variabile casuale
probabilità
statistica
Bernoulli

Variabile casuale binomiale

See also: Variabile casuale binomiale, Bernoulli, Coefficiente binomiale, Curtosi, Funzione generatrice dei momenti, Probabilità, Simmetria (statistica), Statistica, Valore atteso, Variabile casuale