Derivata

In analisi matematica la derivata di una funzione reale di variabile reale f(x) nel punto x_o è definita come il limite per h tendente a 0 del rapporto incrementale, cioè come thumb|right|400px|

${\mathop {\lim_{h \to 0}} {{f\left( {x_o + h} \right) - f\left( x_o \right)} \over h}}$

Se tale limite esiste unico e finito, allora la funzione f(x) si dice derivabile nel punto x_o e la funzione derivata viene indicata con uno dei seguenti simboli:

$f ^{\prime} (x_o)$

$\operatorname D [{f}({x_o})]$

$\frac {\operatorname d f(x_o)}{\operatorname d x}$ (notazione di Leibniz, molto usata in Fisica)

$\dot f(x_o)$ (notazione di Newton, usata in Fisica per indicare la derivata rispetto al tempo)

il valore della derivata di f(x) calcolata in x_o ha anche un significato geometrico: è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva che rappresenta il grafico di f(x), nel punto di coordinate (x_o,f(x_o)).

Per evitare di dover calcolare ogni volta il limite del rapporto incrementale si usano le cosiddette derivate fondamentali: derivate di funzioni semplici e di frequente uso da combinare tramite apposite regole di derivazione per ottenere semplicemente le derivate di funzioni di complessità anche notevole.

Indice

1 Regole di derivazione

2 Derivate fondamentali

3 Derivate di funzioni composte

4 Derivabilità in R²

5 Articoli Correlati

Regole di derivazione

Somma: ${\left( {f \pm g} \right)' = f' \pm g'}$
Prodotto: ${\left( {fg} \right)' = f'g + g'f}$
Quoziente:
${\left( {{f \over g}} \right)^' = {{f'g - g'f} \over {g^{\rm 2}}}}$
Funzione composta: ${D\left( {f\left( {g\left( x \right)} \right)} \right) = f'\left( {g\left( x \right)} \right)g'\left( x \right)}$
Funzione inversa:
${D\left( {f^{ - {\rm 1}} \left( y \right)} \right) = {{\rm 1} \over {f'\left( x \right)}} = {{\rm 1} \over {f'\left( {f^{ - {\rm 1}} \left( y \right)} \right)}}}$

Derivate fondamentali

${D\left( {costante} \right) = 0 }$
${D\left( {ax} \right) = a }$
${D\left( {x^n } \right) = nx^{n - {\rm 1}} }$
${D\left( {e^x } \right) = e^x }$
${D\left( {a^x } \right) = a^x {\rm ln}a}$
${D\left( {{\rm ln}x} \right) = {{\rm 1} \over x}}$
${D\left( {{\rm sin}x} \right) = {\rm cos}x}$
${D\left( {{\rm cos}x} \right) = - {\rm sin}x}$
${D\left( {tgx} \right) = D\left( {{{{\rm sin}x} \over {{\rm cos}x}}} \right) = {\rm 1} + tg^{\rm 2} x = {{\rm 1} \over {{\rm cos}^{\rm 2} x}}}$
${D\left({cotgx} \right) = D\left( {{{{\rm cos}x} \over {{\rm sin}x}}} \right) = {{\rm 1} \over {{\rm sin}^{\rm 2} x}}}$
${D\left( {{\rm arcsin}x} \right) = {{\rm 1} \over {\sqrt {{\rm 1} - x^{\rm 2} } }}}$
${D\left( {{\rm arccos}x} \right) = {{\rm 1} \over { - \sqrt {{\rm 1} - x^{\rm 2} } }}}$
${D\left( {arctgx} \right) = {{\rm 1} \over {{\rm 1} + x^{\rm 2} }}}$
${D\left({{sinh} (x)} \right) = {cosh} (x)}$
${D\left({{cosh} (x)} \right) = {sinh} (x)}$
$D(\tanh (x)) = {1 \over {\cosh ^2 (x)}}$

Derivate di funzioni composte

${D\left( {\left[ {f\left( x \right)} \right]^n } \right) = n\left[ {f\left( x \right)} \right]^{n - {\rm 1}} f'\left( x \right)}$
${D\left( {\sqrt {f\left( x \right)} } \right) = {{\rm 1} \over {{\rm 2}\sqrt {f\left( x \right)} }}}$
${D\left( {{\rm ln}f\left( x \right)} \right) = {{\rm 1} \over {f\left( x \right)}}f'\left( x \right) = {{f'\left( x \right)} \over {f\left( x \right)}}}$
${D\left( {e^{f\left( x \right)} } \right) = e^{f\left( x \right)} f'\left( x \right)}$
${D\left( {{\rm sin}f\left( x \right)} \right) = f'\left( x \right){\rm cos}f\left( x \right)}$
${D\left( {{\rm cos}f\left( x \right)} \right) = - f'\left( x \right){\rm sin}f\left( x \right)}$
${D\left( {\arctan f\left( x \right)} \right) = {{f'\left( x \right)} \over {{\rm 1} + \left[ {f\left( x \right)} \right]^{\rm 2} }}}$
${{D\left( {f\left( x \right)^{g\left( x \right)} } \right) = f\left( x \right)^{g\left( x \right)} \left\{ {g'\left( x \right){\rm ln}f\left( x \right) + g\left( x \right){{\rm 1} \over {f\left( x \right)}}f'\left( x \right)} \right\}}}$

Derivabilità in R²

Una funzione f si dice derivabile in ${\mathbb{R}^{\rm 2} }$ se esistono finite e continue le sue due derivate parziali

Derivata

Regole di derivazione

Derivate fondamentali

Derivate di funzioni composte

Derivabilità in R²

Articoli Correlati

See also: Derivata, Coefficiente angolare, Derivata parziale, Fisica, Funzione, Integrale, Numero reale, Rapporto incrementale, Tavola delle derivate