Delta di Dirac

La funzione delta di Dirac, introdotta da Paul Dirac, in realtà non è neppure una funzione! δ(x), infatti, assume valore infinito quando x=0 e risulta nulla in qualsiasi altro punto, mentre il suo integrale su tutto lo spazio $\Bbb{R}$ è pari a uno. La delta di Dirac può quindi essere agevolmente utilizzata come approssimazione per i picchi alti e stretti di alcune funzioni: è lo stesso tipo di astrazione che si fa per la carica puntiforme, la massa puntiforme, l'elettrone puntiforme.

Indice

1 La definizione di Dirac

2 Definizione rigorosa

3 Significato fisico

4 Voci correlate

La definizione di Dirac

Formalmente la delta di Dirac viene definita dal seguente integrale:

$\int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname f (x) \delta (x-y) \operatorname d x = \operatorname f (y)$

valido per ogni funzione continua in un intorno di y. Questa definizione fu introdotta per la prima volta da Dirac alla fine degli anni 20 nelle sue ricerche sulla meccanica quantistica. Nonostante sia facilmente dimostrabile che non può esistere alcuna funzione con le proprietà della delta di Dirac, questa definizione si rivelò operativamente molto utile e fu presto adottata in molti ambiti della fisica e delle scienze applicate. Anche per Dirac era chiaro che la delta non era una funzione nel senso usuale; la sua idea era che il valore della delta nel punto 0 fosse un infinito di grado "abbastanza elevato" da permettere la proprietà definitoria. Una formalizzazione matematicamente corretta della delta fu possibile solo molti anni dopo nell'ambito della teoria delle distribuzioni.

In pratica, la "funzione delta di Dirac" $\delta : \mathbb{R} \ni \xi \mapsto \delta ( \xi )\in \delta(\mathbb{R}) \subset \mathbb{R}$ è definita come una distribuzione la cui immagine $δ(ξ)$ è omeomorfa alla funzione $h : \mathbb{R} \ni \xi \mapsto \frac{1+{\rm sgn} \xi }{2} \in \mathbb{R}$ e soddisfa la seguente equazione integrale:

$\int^{x}_{-\infin} \delta (t) dt = h(x)$ $\ \ \forall x \in \mathbb{R}$ .

Definizione rigorosa

Formalmente, la delta di Dirac può essere definita come una distribuzione, vale a dire un funzionale lineare su un opportuno spazio di funzioni.

Chiamiamo D lo spazio di funzioni considerato: presa una funzione f ∈ D, l'azione della delta è data da

$\langle \delta | f \rangle = f(0)$

Dalla definizione si evince che la delta può agire su qualunque funzione che abbia un ben definito valore nel punto 0, quindi D può essere un qualsiasi spazio i cui elementi soddisfino questa proprietà.

È facile convincersi che la delta non è una distribuzione regolare, cioè che non può esistere una funzione δ(x) tale che

$\int \delta (x) f(x) \operatorname {d} x = \langle \delta | f \rangle$

tuttavia, principalmente per comodità, la notazione integrale è largamente utilizzata.

Significato fisico

La funzione delta può essere pensata come la densità di un punto. Consideriamo, ad esempio, un corpo con massa M finita, esteso in una certa regione V dello spazio tridimensionale. Possiamo associare ad ogni punto x dello spazio una quantità f(x) che rappresenti la densità del corpo. La funzione f sarà nulla al di fuori della regione V e, all'interno, assumerà valori tali che l'integrale

$\int_V f(x) \operatorname {d} x$

converga ad M. Essendo f(x) = 0 al di fuori di D l'integrale può essere esteso a tutto lo spazio e si può quindi scrivere:

$\int f(x) \operatorname {d} x = M$

Ora, se immaginiamo di restringere la regione V senza variare la massa del corpo, la densità di questo dovrà conseguentemente aumentare e tenderà all'infinito al tendere di V al singolo punto: vogliamo, quindi, trovare un'espressione come densità limite per la densità del corpo puntiforme.

Per semplicità consideriamo un corpo con densità costante e a una regione V sferica con raggio R; il volume di V sarà

$\frac {4}{3} \pi R^3$

e la corrispondente densità

$f_R (x) = \frac{M}{V} = \frac{3M}{4\pi R^3}$

e in questo modo

$\int f_R (x)dx = M, \forall R$

Se si considera il limite

$f(x) = \lim_{R \to 0}f_R (x)$

avverrà che $f (x) =$ ∞ per $x = 0$ , $f (x) = 0$ per x≠0, da cui

$\int f(x) \operatorname {d}x = 0$

e questo vuol dire che f(x) non è assimilabile alla densità di un punto di massa M.

Consideriamo allora un diverso tipo di limite per le densità f_R: il cosiddetto limite debole. Con pochi calcoli si nota che per ogni funzione continua h

$\lim _{R \to 0} \int f_R (x) h(x) \operatorname {d} x = M h(0)$ .

Questa formula mostra che il limite debole della successione f_R, è il funzionale che associa alla funzione h il valore M h(0), questo limite, che indichiamo simbolicamente M δ(x), è la densità cercata; infatti, posto h(x)=1, abbiamo

$\int M \delta (x) = \lim_{R \to 0} \int f_R (x) \operatorname {d} x = M$

dove il primo integrale è un'espressione simbolica con cui si sottointende il passaggio al limite.

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See also: Delta di Dirac, Anni 1920, Carica elettrica, Delta di Kronecker, Densità, Elettrone, Fisica, Funzione, Funzione continua, Infinito