Corpo (matematica)
Un Corpo è un insieme K munito di due operazioni binarie, che chiamiamo somma e prodotto e indichiamo rispettivamente con + e * , che godono delle seguenti proprietà:
A0) Per ogni coppia di elementi a,b appartenenti a K, la loro somma a + b appartiene a K; si dice che K è chiuso rispetto alla somma.
A1) La somma è associativa; cioè per ogni terna di elementi a,b,c appartenenti a K, vale: (a + b) + c = a + (b + c).
A2) Esiste un unico elemento z appartenente a K neutro ripetto alla somma, cioè tale che a + z = z + a = a.
A3) Per ogni elemento a di K esiste un elemento opposto b tale che a + b = z.
A4) La somma è commutativa, cioè per ogni coppia di elementi a,b di K, vale: a + b = b + a.
B0) Per ogni coppia di elementi a,b appartenenti a K, il loro prodotto a * b appartiene a K; si dice che K è chiuso rispetto al prodotto.
B1) Il prodotto è associativo; cioè per ogni terna di elementi a,b,c appartenenti a K, vale: (a * b) * c = a * (b * c).
B2) Esiste un unico elemento e (diverso da z) appartenente a K neutro ripetto al prodotto, cioè tale che a * e = e * a = a.
B3) Per ogni elemento a diverso da z esiste un elemento inverso b tale che a * b = e.
C) Somma e prodotto godono delle proprietà distributive, cioè per ogni terna a,b,c di elementi di K vale: a * (b + c) = a * b + a * c.
Generalmente, si indica con 0 l'elemento neutro della somma (z) e con 1 l'elemento neutro del prodotto(e).
In un corpo sono risolubili in modo unico le equazioni a * x = b, x * a = b per ogni a,b appartenenti a K con a diverso da 0.
Un corpo è un anello con unità in cui esiste l'inverso di ogni numero diverso da 0 (proprietà B3). Un corpo commutativo, in cui valga cioè la proprietà commutativa del prodotto, è un campo.
Vedi anche:
- altre strutture algebriche