Circuito RLC

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In generale, si dice RLC un circuito che contenga solo resistenze (R), induttori (L) e condensatori (C). Per estensione, viene spesso definito RLC un circuito che contenga anche altri elementi passivi, ma nessun elemento attivo.

I circuiti RLC sono sistemi lineari, per lo più tempo-invarianti (ma non necessariamente). In particolare, ciò significa che un circuito RLC non può creare frequenze dal nulla: può eventualmente sopprimerle. Infatti, la nascita di nuove frequenze (distorsione) avviene soltanto negli elementi attivi a semiconduttore e negli elementi non lineari, come diodi e transistor.

Oscillatore

Il circuito RLC più famoso è senz'altro l'oscillatore. Esso è composto dalla serie di un resistore, un condensatore e un induttore, alimentati da un generatore di tensione anch'esso in serie.

Immagine:Oscillatore RLC - schema.jpg

Corrente nell'oscillatore

È possibile scrivere un'equazione di maglia sfruttando le relazioni costitutive:

e(t)+v_R(t)+v_C(t)+v_L(t)=e(t)-Ri(t)-\frac1C\int_0^t{i(\tau)d\tau}-L\frac{di(t)}{dt}=0.

Quella che si ottiene è un'equazione integro-differenziale in cui la funzione incognita è la corrente (funzione del tempo). Per risolverla, la trasformiamo prima in un'equazione differenziale derivando entrambi i membri rispetto al tempo:

L\frac{d^2i(t)}{dt^2}-R\frac{di(t)}{dt}-\frac1Ci(t)-\frac{de(t)}{dt}=0.

Applichiamo ad entrambi i membri la trasformata di Laplace, supponendo per semplicità che le condizioni iniziali siano nulle:

s^2LI(s)+sRI(s)+\frac1CI(s)=sE(s);

da cui, risolvendo:

I(s)=\frac{s}{s^2L+sR+\frac1C}E(s)=H(s)E(s).

La funzione H(s) prende il nome di funzione di trasferimento del circuito, e rappresenta la relazione che intercorre tra la corrente e l'eccitazione fornita dal generatore di tensione. Si noti che, mentre in generale può essere molto difficile antitrasformare l'espressione di I(s), è invece molto semplice vedere il circuito come funzione di trasferimento.

Oscillatore ideale

Supponiamo R = 0: questo significa trascurare le perdite energetiche nel circuito, cioè immaginare che la quantità di energia fornita inizialmente al circuito non si disperda col passare del tempo. Questo ci porta a scrivere:

H(s)=\frac{sC}{s^2LC+1}.

Si nota facilmente che la funzione di trasferimento ha una coppia di poli complessi coniugati (il polo di una funzione complessa è il punto in cui il suo denominatore si annulla), che valgono

p_1=j\frac{1}{\sqrt{LC}}, p_2=-j\frac{1}{\sqrt{LC}}.

Tale punto rappresenta la pulsazione di risonanza dell'oscillatore. Ciò significa che a quella pulsazione (e alla relativa frequenza f=\frac{Im\{p\}}{2\pi}) il circuito è in grado di auto-alimentarsi: se il generatore viene spento, l'energia accumulata nel condensatore e nell'induttore continua a circolare nel circuito, generando un'oscillazione quasi perfettamente sinusoidale caratterizzata dalla frequenza f. Per informazioni più dettagliate sulla risonanza di un circuito elettrico, si veda sistema dinamico.

See also: Circuito RLC, Condensatore, Diodo, Equazione differenziale, Fisica, Funzione di trasferimento, Glossario fisico, Induttore, Leggi di Kirchhoff