Cardinalità
In matematica per cardinalità (o numerosità o potenza) di un insieme finito si intende nient'altro che il numero dei suoi elementi. In teoria degli insiemi viene data una definizione rigorosa di cardinalità, che si adatta al caso di insiemi infiniti e, fra l'altro, fornisce una definizione astratta e una generalizzazione del concetto di numero naturale.
La definizione segue i seguenti passi:
- Due insiemi A e B si dicono equicardinali o equipotenti se fra i loro elementi si può stabilire una corrispondenza biunivoca, vale a dire, se ad ogni elemento di A si può associare uno e un solo elemento di B.
- Si constata che l'equicardinalità è una relazione di equivalenza. Si dice che due insiemi hanno la stessa cardinalità (o la stessa potenza) se sono equicardinali.
- Gli insiemi finiti si possono collocare in classi di equicardinalità e ciascuna di queste classi di equivalenza può essere rappresentata dall'intero naturale che fornisce il numero di ciascuno degli insiemi; quindi gli interi naturali possono essere identificati con le potenze degli insiemi finiti.
- Si considera la classe degli insiemi che si possono porre in biiezione con l'insieme dei naturali: questa classe si dice cardinalità del numerabile e si può considerare come un numero; questo si denota con il simbolo
, da leggersi alef con zero.
- Si considera la classe degli insiemi che si possono porre in biiezione con i numeri reali (o con i numeri reali dell'intervallo [0,1]): questa classe si dice cardinalità del continuo e si può considerare come un numero che si denota con
, da leggersi alef con uno.
- Si considera la classe degli insiemi che si possono porre in biiezione con la totalità delle funzioni di variabile reale a valori reali; questa classe si dice cardinalità delle funzioni e si denota con
.
- Questo processo può proseguire e si può individuare una successione di entità
che si dicono numeri transfiniti.
È fondamentale il teorema di Cantor - Bernstein: siano A e B due insiemi; se esistono un'applicazione biunivoca f di A in un sottoinsieme B' di B e un'applicazione biunivoca g di B in un sottoinsieme A' di A, allora A e B sono equivalenti (e, naturalmente, sono equivalenti ad A' e B').