Caratteristica di Eulero
La caratteristica di Eulero è utilizzata nella topologia per distinguere gli oggetti topologici. Essa, difatti, varia da oggetto a oggetto. Per esempio, nelle figure piane è uguale a 1.
Cosa afferma
Se con N indichiamo il numero di nodi di un oggetto, con L il numero di linee di connessione e con F il numero di facce racchiuse tra 3 o più spigoli, la caratteristica di Eulero sarà uguale a F+L-N.
Dimostrazione
L'idea di partenza di Eulero per la dimostrazione che la caratteristica rimane invariata fu quella di eliminare uno a uno tutte le linee e i nodi. La rimozione di una linea che non sia diretta ad un nodo terminale (ovvero un nodo che non è collegato a solo un nodo) porterà alla riduzione di 1 sia L che F, ma non diminuirà N. Quindi il valore della caratteristica di Eulero rimarrà invariata perché (F − 1) + (L − 1) − N = F + L − N.
Se invece togliamo un nodo terminale abbasseremo di 1 il valore di N e L, ma rimarrà invariato il valore di F. In questo modo la caratteristica di Eulero rimarrà nuovamente invariata (F + (L − 1) − (N − 1) = F + L − N). Nel caso delle figure piane si arriverà ad una rete banale composta da un punto. Dato che per ogni passaggio la caratteristica è rimasta invariata, il suo valore sarà sempre uno.