Campo vettoriale

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Campo vettoriale i cui vettori hanno la forma (-y, x)

In matematica un campo vettoriale è un costruzione del calcolo vettoriale che associa a ogni punto di una regione tendenzialmente regolare di uno spazio euclideo, in genere $\mathbb{R}^3$ , un vettore delle stesse dimensioni.

I campi vettoriali sono utilizzati in fisica per modellizzare le grandezze vettoriali, grandezze caratterizzate da una intensità e da una direzione, per esempio spostamento, velocità e accelerazione di un fluido, forze come la gravitazionale, la elettrica o la Magnetica.

Definizione

Dato uno insieme aperto e connesso X contenuto in $\mathbb{R}^n$ , un campo vettoriale è una funzione vettoriale:

$\mathbf{F}: X \rightarrow \mathbb{R}^n$

alla quale si richiede di soddisfare qualche condizione di regolarità.

Un punto x in X è definito punto stazionario per la F se

$\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$

Serviamoci del simbolo C^k_X come di un aggettivo per qualificare le funzioni scalari e vettoriali definite in X che in tale dominio siano k volte derivabili con continuità.

L'insieme delle C^k_X funzioni a valori reali costituiscono un anello commutativo, in quanto sommando e moltiplicando due tali funzioni si ottiene ancora una funzione C^k_X.

Dati due C^k_X campi vettoriali F,G e una funzione C^k_X a valori reali f, cioè dato un campo scalare C^k_X f, si dimostrano le uguaglianze

$(f \mathbf{F})(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}) \mathbf{F}(\mathbf{x})$

$\mathbf{(F+G)}(\mathbf{x}) = \mathbf{F}(\mathbf{x}) + \mathbf{G}(\mathbf{x})$

Queste garantiscono che le funzioni vettoriali C^k_X costituiscono un modulo sull'anello commutativo delle funzioni scalari C^k_X.

Campo vettoriale

Definizione

See also: Campo vettoriale, Calcolo vettoriale, Elettricità, Fisica, Gravità, Insieme aperto, Matematica, Modulo (struttura), Vettore