Calcolo tensoriale

Il calcolo tensoriale è quella parte dell'analisi che manipola i tensori.

Sviluppato da Gregorio Ricci-Curbastro e dal suo allievo Tullio Levi-Civita, è stato utilizzato da Albert Einstein per elaborare la sua teoria della relatività generale.

Indice

1 Moltiplicazione dei tensori

1.1 Prodotto interno
1.2 Prodotto misto

2 Derivata tensoriale

2.1 Divergenza di un tensore
2.2 Rotore di un tensore

3 Voci correlate

Moltiplicazione dei tensori

Moltiplicando tra loro un tensore di ordine r e uno di ordine r' , si ottiene un tensore di ordine r+r' . Ad, esempio, moltiplicando tra loro due quadrivettori, ossia tensori di ordine 1, ottengo un tensore del secondo ordine. La moltiplicazione si effettua facendo variare indipendentemente gli indici sui due quadrivettori, otenendo dunque 4×4 componeni, ossia 16. In formule, dati i quadrivettori (controvarianti) A^ν e B^μ:

A ν B μ = A νμ

Come esercizio, moltiplichiamo tra loro i quadrivettori

$A=\left ( \begin{matrix} a, &b, &c, &d \end{matrix} \right )$ e $B=\left ( \begin{matrix} p, &q, &r, &s \end{matrix} \right )$

e chiameremo C^νμ il tensore risultante. Dobbiamo far variare indipendentemente gli indici, quindi fissiamo l'indice di A ad 1, e moltiplichiamo per gli elementi di B, avremo così gli elementi C^1,1, C^1,2, C^1,3 e C^1,4.

$C =\left ( \begin{matrix} ap, &aq, &ar, &as \\ -, &-, &-, &- \\ -, &-, &-, &-\\ -, &-, &-, &- \end{matrix} \right )$

Facciamo ora aumentare l'indice del primo tensore, e otteniamo gli elementi C^2,1, C^2,2, C^2,3 e C^2,4

$C =\left ( \begin{matrix} ap, &aq, &ar, &as \\ bp, &bq, &br, &bs \\ -, &-, &-, &-\\ -, &-, &-, &- \end{matrix} \right )$

Continuando nello stesso modo, otteniamo facilmente il risultato

$C =\left ( \begin{matrix} ap, &aq, &ar, &as \\ bp, &bq, &br, &bs \\ cp, &cq, &cr, &cs \\ dp, &dq, &dr, &ds \end{matrix} \right )$

A prima vista, il risultato è analogo al prodotto di matrici, senza però le convenzioni su righe e colonne. Tuttavia, rimoltiplicando C^νμ per A^τ, otteniamo un tensore del terzo ordine, C^νμτ, che equivarrebbe ad una matrice tridimensionale, mentre se li considerassimo matrici, otterremmo ancora una matrice normale.

Trattamento del tutto analogo ci consente di moltiplicare tra loro qualunque combinazione di tensori covarianti, controvarianti e misti, con le semplici regole seguenti:

$A^{\mu \nu} B_{\sigma \tau}= T^{\mu\nu}_{\sigma \tau}$

$A^{\mu}_\nu B^\tau _\sigma = T^{\mu \tau}_{\nu \sigma }$

Prodotto interno

Il prodotto interno è simile al prodotto scalare dei vettori, e si effettua moltiplicando due tensori ed effettuando poi una contrazione. Dato che quest'ultima è possibile solo sui tensori misti, il prodotto interno è possibile solo se il risultato del prodotto è un tensore misto. Consideriamo i due tensori A_νμ e B^σ, il loro prodotto è T^σ_νμ. Eseguendo la contrazione otteniamo

$\sum_\nu T^\nu _{\nu \mu}= T_\mu$

Il tensore del primo ordine (un vettore) T_μ prende dunque il nome di prodotto interno di A e B. Se il tensore misto è del secondo ordine, il risultato è un invariante.

Come esempio, prendiamo il tensore

$C^\nu_\mu=A^\nu B_\mu$

con

$A=\left ( \begin{matrix} a, &b, &c, &d \end{matrix} \right )$ e $B=\left ( \begin{matrix} p, &q, &r, &s \end{matrix} \right )$

Per quanto visto sopra, risulta

$C =\left ( \begin{matrix} ap, &aq, &ar, &as \\ bp, &bq, &br, &bs \\ cp, &cq, &cr, &cs \\ dp, &dq, &dr, &ds \end{matrix} \right )$

Effettuiamo ora la contrazione: dobbiamo eseguire la somma degli elementi con i due indici uguali,

$C=\sum_\nu C^\nu_\nu$

In pratica, sommiamo gli elementi lungo la diagonale principale, e si ottiene facilmente

C = a p + b q + c r + d s

Avendo effettuato il prodotto interno di due vettori, il risultato è analogo al prodotto scalare. Notando che si ha

$C^\mu=\sum_\nu C^{\nu \mu}_\nu =\sum_\nu A^{\nu \mu} B_\nu$

può essere conveniente scomporre il tensore misto primo di effettuare la contrazione.

Prodotto misto

Dati due tensori del secondo ordine A_νμ e B^στ, eseguiamo dapprima la moltiplicazione, e poi una sola contrazione, ottenendo dapprima

$A_{\nu \mu}B^{\sigma \tau}=T^{\sigma \tau}_{\nu \mu}$

e contraendo

$D^\tau _\mu =\sum_\nu T^{\nu \tau}_{\nu \mu}$

Questa operazione è detta prodotto misto in quanto è prodotto interno rispetto a μ e τ e contrazione rispetto a ν e σ

Derivata tensoriale

Sia φ uno scalare, ad esempio una funzione scalare invariante estesa nel continuum a quattro dimensioni. Consideriamo ora una curva S qualunque, su cui stabiliamo una metrica per cui la distanza da un punto fisso misurata sulla curva sia s: allora anche $\frac {d \phi}{ds}$ è invariante, essendo invarianti sia ds che dφ. Poichè vale la relazione

$\frac {d \phi}{ds}=\sum_\mu \frac {\partial \phi}{\partial x^\mu} \frac {d x^\mu}{ds}$

anche il secondo membro è un invariante (ometteremo nel seguito il simbolo di somma, con le solite convenzioni). Dunque il quadrivettore

$A_\mu=\frac {\partial \phi}{\partial x^\mu}$

ossia il gradiente di φ, è covariante. Se definiamo un nuovo invariante

$\psi =\frac {\partial \phi}{\partial x^\mu} \frac {d x^\mu}{ds}$

per quanto visto prima, $\chi = \frac {d \psi}{ds}$ è un invariante. Sostituendo a ψ la sua espressione, otteniamo

$\chi =\frac {\partial^2 \phi}{\partial x^\mu \partial x^\nu} \frac {d x^\mu}{ds} \frac {d x^\nu}{ds} + \frac {\partial \phi}{\partial x^\mu}\frac {d^2 x^\mu}{ds^2}$

Ricordando che l'equazione generale di una geodetica per lo spaziotempo, utilizzando i simboli di Christoffel di seconda specie, ha la forma

$\frac {d^2 x^\tau}{ds^2} + \left\{ \begin{matrix} \tau \\ \nu \mu \end{matrix}\right \} \frac {d x^\nu}{ds}\frac {d x^\mu}{ds}$

ricaviamo il valore di $\frac {d^2 x^\mu}{ds^2}$ , che sostituiamo. Otteniamo dunque la relazione

$\chi =\left[ \frac {\partial^2 \phi}{\partial x^\mu \partial x^\nu} -\left\{ \begin{matrix} \tau \\ \nu \mu \end{matrix}\right \} \frac {\partial \phi}{\partial x^\tau} \right ] \frac { d x^\nu}{ds}\frac {d x^\mu}{ds}$

Un noto teorema ci garantisce che l'ordine di derivazione rispetto a ν e μ è invertibile, e il simbolo di Christoffel di seconda specie è simmetrico rispetto a ν e μ, dunque la relazione tra parentesi quadre data sopra è simmetrica anch'essa. Per la generalità delle x^ν, il quadrivettore $\frac {d x^\mu}{ds}$ è arbitrario. Ricordando l'invarianza di Χ, otteniamo dunque che la relazione

$A_{\nu / \mu}=\frac {\partial^2 \phi}{\partial x^\mu \partial x^\nu} -\left\{ \begin{matrix} \tau \\ \nu \mu \end{matrix}\right \} \frac {\partial \phi}{\partial x^\tau}$

rappresenta un tensore covariante del secondo ordine.

Ricapitolando, dal quadrivettore covariante

$A_\mu= \frac {\partial \phi}{\partial x^\mu}$

abbiamo ricavato il tensore covaiante del secondo ordine

$A_{\mu / \nu}=\frac {\partial A_\mu}{ \partial x^\nu} -\left\{ \begin{matrix} \tau \\ \mu \nu \end{matrix}\right \} A_\tau$

Chiameremo questo tensore la derivata tensoriale del tensore A_μ. È facile vedere che tale risultato vale non solo partendo da un gradiente, ma da qualsiasi vettore covariante. Basta infatti notare che, dati due scalari φ e ψ, per quanto visto prima $\psi \frac {\partial \phi}{\partial x^\mu}$ è un tensore del primo ordine covariante. Altrettanto potrà dirsi di una somma di quattro di questi vettori qualsiasi $S_\mu=\psi_\nu \frac {\partial \phi_\nu}{\partial x^\mu}$ . Ora, un qualunque vettore A_μ può esprimersi nella forma di S_μ (il come è lasciato per esercizio al lettore). Per quanto riguarda il resto della dimostrazione, basta ripercorrere il cammino partendo da $\psi \frac {\partial \phi}{\partial x^\mu}$ , e si ricava esattamente la stessa formula, che è quanto ci attendevamo.

Esaminiamo ora il caso di un tensore del secondo ordine A_μν, abbiamo già visto che è possibile esprimerlo come somma di prodotti del tipo A_μB_ν. Ricordando la regola di derivazione del prodotto, deriviamo singolarmente i due tensori, ottenendo

$A_{\mu / \sigma}=\frac {\partial A_\mu}{ \partial x^\sigma} -\left\{ \begin{matrix} \tau \\ \mu \sigma \end{matrix}\right \} A_\tau$

$B_{\nu / \sigma}=\frac {\partial B_\nu}{ \partial x^\sigma} -\left\{ \begin{matrix} \tau \\ \nu \sigma\end{matrix}\right \} B_\tau$

Queste espressioni sono tensori. Moltiplicando poi la prima per B_ν e la seconda per A_μ, otteniamo comunque sei tensori del terzo ordine. Sommandoli e ponendo

A μν = A μ B ν

otteniamo

$A_{\mu \nu / \sigma}=\frac {\partial A_\mu\nu}{ \partial x^\sigma} -\left\{ \begin{matrix} \tau \\ \mu \sigma \end{matrix}\right \} A_{\tau \nu} -\left\{ \begin{matrix} \tau \\ \nu \sigma \end{matrix}\right \} A_{\mu \tau}$

Analogamente a quanto visto prima, è possibile estendere il risultato ad un tensore del secondo ordine qualunque, e utilizzando le normali regole per la moltiplicazione dei tensori, si ricavano facilmente le espressioni per le derivate tensoriali per qualunque ordine di tensori.

Divergenza di un tensore

Rotore di un tensore

Voci correlate

Algebra tensoriale
∇
Vettore