Angolo di parallelismo
Angolo di parallelelismo
Il concetto di parallelismo nella geometria iperbolica si distingue da quello euclideo per due questioni fondamentali. La prima riguarda il fatto che l'angolo di parallelismo, formato dalla parallela, per un punto P ad una retta data, con la perpendicolare condotta da P su tale retta, non è più retto, ma acuto. Da questa segue la seconda, che riguarda l'esistenza, nella geometria iperbolica, di due versi di parallelismo.
Il fatto che l'angolo di parallelismo iperbolico non sia più retto porta a chiedersi se il suo valore sia o meno costante. Nella geometria euclideal’angolo di parallelismo è sempre un angolo retto; nella Geometria iperbolica l'angolo di parallelismo non ha un valore costante e ciò è assicurato dai teoremi relativi ai triangoli aperti, tipici della geometria iperbolica.
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Accade, infatti, che l'ampiezza dell'angolo di parallelismo è strettamente legata alla lunghezza del lato finito del triangolo aperto individuato dalle due semirette parallele.
Si dimostra, infatti, che l'ampiezza dell'angolo di parallelismo p è funzione della distanza p del punto, per il quale passano le due rette parallele, dalla retta, cioè si può scrivere a≡∏( p).
Tale funzione risulta essere definita per ogni valore reale non negativo di p; inoltre si dimostra che essa è decrescente:
Se p1 < p2 , allora ∏(p1) > ∏(p2).
Si dimostra anche che, dato un qualsiasi angolo acuto α, questo può essere considerato come angolo di parallelismo a cui corrisponde univocamente un valore reale p che rappresenta la lunghezza di un segmento di perpendicolare condotto da un punto ad una retta, per il quale esistono due rette parallele alla retta considerata.