Anello (matematica)
In matematica un anello è una struttura algebrica composta da un insieme A su cui sono definite due operazioni binarie, che solitamente sono chiamate somma e prodotto e qui indichiamo rispettivamente con + e * , le quali godono delle seguenti proprietà:
A0) Per ogni coppia di elementi a, b appartenenti ad A, la loro somma a + b appartiene a A; questo si esprime anche dicendo che A è chiuso rispetto alla somma.
A1) La somma è associativa; cioè per ogni terna di elementi a, b, c appartenenti ad A, vale: (a + b) + c = a + (b + c).
A2) Esiste un elemento z appartenente ad A neutro ripetto alla somma, cioè tale che a + z = z + a = a.
A3) Per ogni elemento a di A esiste un elemento opposto b tale che a + b = z.
A4) La somma è commutativa, cioè per ogni coppia di elementi a,b di A, vale: a + b = b + a.
B0) Per ogni coppia di elementi a, b appartenenti ad A, il loro prodotto a * b appartiene ad A; si dice che A è chiuso rispetto al prodotto.
B1) Il prodotto è associativo; cioè per ogni terna di elementi a, b, c appartenenti ad A, vale: (a * b) * c = a * (b * c).
B2) Esiste un elemento e appartenente ad A neutro rispetto al prodotto, cioè tale che a * e = e * a = a.
C) Somma e prodotto godono delle proprietà distributive, cioè per ogni terna a, b, c di elementi di A vale: a * (b + c) = a * b + a * c.
L'esempio storico della strutura di anello è dato dall'insieme dei numeri interi munito delle operazioni usuali di somma e prodotto. Altri anelli numerici sono costituiti con i numeri razionali, i numeri reali e i numeri complessi. In realtà gli anelli costituiscono una popolazione molto estesa e variegata che comprende anche strutture piuttosto "esotiche".
Spesso un anello come quello usato per la definizione si individua con la terna
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Utilizzando invece la notazione con componenti esplicite e servendosi del segno - prefisso per il passaggio all'elemento opposto, cioè all'inverso relativo all'operazion +, la struttura si individua come
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Le proprietà A0-A4 si riassumono dicendo che A dotato dell'operazione + è un gruppo abeliano.
L'unicità degli elementi neutri z ed e e dell'opposto di un elemento si dimostra direttamente dalle rispettive definizioni (v.a. magma e gruppo).
Se e = z, per ogni altro elemento a dell'anello sarebbe a = a * e = a * z = z, cioè l'anello contiene z come unico elemento; in questo caso si dice che (A, + , * ) è l' anello banale o anche l' anello zero.
Un anello si dice commutativo o abeliano se vale
B4) Per ogni coppia di elementi a, b di A, vale: a * b = b * a.
Dato un anello non banale e un suo elemento a, si dice inverso moltiplicativo (bilatero) di a un elemento a' tale che a*b' = a'*a = e.
Questo problema non riguarda l'elemento zero, in quanto sarebbe z'*z = e = z; quindi lo zero possiede inverso solo nell'anello banale.
Un anello abeliano non banale nel quale ogni elemento diverso dallo zero ammette inverso moltiplicativo viene chiamato corpo. L'anello degli interi non è un corpo.
Voci correlate
- Storia della teoria degli anelli
- Teoria degli anelli
- Anello di polinomi
- Pseudoanello
- Dominio di integrità
- altre strutture algebriche
- Glossario di teoria degli anelli
- Elenco di articoli di algebra astratta