Anello booleano
In matematica un anello booleano R è un anello per il quale x2 = x per ogni elemento x del suo sostegno R. In altre parole è un anello costituito solo da elementi idempotenti.
Gli anelli booleani sono strutture criptomorfe (cioè logicamente equivalenti) alle algebre di Boole. L'esempio più noto è fornito dall'insieme delle parti di un qualsiasi insieme X, dove l'addizione di anello è la operazione insiemistica differenza simmetrica e la moltiplicazione è l'intersezione.
Criptomorfismo con le algebre di Boole
Dato un anello booleano (R,+,·), definiamo
- x ∧ y := x · y,
- x ∨ y := x + y − xy,
- ~x = 1 + x .
La struttura (R,∨,∧) soddisfa tutti gli assiomi dell'algebra di Boole, dove le operazioni ∨, ∧ e ~ hanno risp. i ruoli di giunzione, incontro e complementazione. In tal modo ad ogni anello booleano i associa un'algebra di Boole.
Viceversa ad ogni algebra di Boole si associa un anello booleano definendo:
- x · y := x ∧ y,
- x + y := (x ∨ y) ∧ ~(x ∧ y).
Morfismi e sottostrutture
Una applicazione tra due anelli booleani si dice omomorfismo di anelli sse trasportata tra le corrispondenti algebre booleane costituisce un omomorfismo tra tali strutture.
Un sottoinsieme di un anello booleano si dice ideale di anello (ideale primo di anello, ideale massimale di anello) sse costituisce un ideale d'ordine (ideale d'ordine primo, ideale d'ordine massimale) dell'algebra di Boole.
Per anello quoziente di un anello booleano modulo un ideale di anello corrisponde al reticolo quoziente dei corrispondenti reticoli booleani modulo il corrispondente ideale d'ordine.
Alcuni risultati
Ogni anello booleano R soddisfa x + x = 0 per ogni x in R; infatti sappiamo che
- x + x = (x + x)2 = x2 + 2x2 + x2 = x + 2x + x
e possiamo sottrarre x + x da entrambi i membri di questa equazione. Una dimostrazione analoga garantisce che ogni anello booleano è commutativo:
- x + y = (x + y)2 = x2 + xy + yx + y2 = x + xy + yx + y
e questa uguaglianza comporta xy + yx = 0, che equivale xy = −yx = yx (utilizzando la prima proprietà precedente).
L'identità x + x = 0 dice che ad ogni anello booleano si può associare in un unico modo un'algebra associativa sul campo F2 di due elementi. In particolare, ogni anello booleano finito ha come cardinalità una potenza di due.
Osserviamo che vi sono algebre associative unitali su F2 che non sono anelli booleani: un esempio è dato dall'anello di polinomi F2[X].
L'anello quoziente R/I relativo ad un arbitrario anello booleano R modulo un qualunque ideale I è anch'esso un anello booleano. Similmente ogni sottoanello di un anello booleano è un anello booleano.
Ogni ideal primo P di un anello booleano R è massimale: l'anello quoziente R/P è un dominio d'integrità e contemporaneamente un anello booleano; quindi deve essere isomorfo al campo F2 e questo comporta la massimalità di P. Dato che gli ideali massimali sono necessariamente primi, si conclude che in ogni anello booleano l'insieme degli ideali primi e quello degli ideali massimali coincidono.