Algebra elementare
L'algebra elementare è il più semplice tipo di algebra propinata agli studenti che si presume non abbiano nessuna conoscenza della matematica oltre ai principi di base dell'aritmetica. Mentre in aritmetica compaiono solo i numeri e le operazioni aritmetiche (come +, −, ×, ÷), in algebra si usano anche dei simboli (come a, x, y) per indicare i numeri. Ciò è utile perché:
- Consente la formulazione generale di leggi aritmetiche (come a + b = b + a per ogni a e b), e quindi è il primo passo per un'esplorazione sistematica delle proprietà del sistema dei numeri reali
- Consente di riferirsi a numeri "sconosciuti", la formulazione delle equazioni e le tecniche per risolverle (per esempio: "trova un numero x tale che 3x + 2 = 10)
- Consente la formulazione di relazioni funzionali (come la seguente: "se si vendono x biglietti, allora il profitto sarà 10x − 5 euro")
Questi sono problemi tipicamente nell'ambito dell'algebra elementare, che si distingue dall'algebra astratta, un argomento molto più avanzato e affrontato generalmente dagli studenti universitari.
Nell'algebra, una espressione può contenere numeri, variabili ed operazioni aritmetiche; esempi sono a + 3 e x2 − 3. Una equazione è l'affermazione che due espressioni siano uguali. Alcune equazioni sono vere per ogni valore delle variabili incognite (per esempio a + (b + c) = (a + b) + c); esse sono conosciute come identità. Altre equazioni contengono dei simboli per le variabili incognite e siamo quindi interessati a trovare quei valori che rendono vera l'equazione: x2 − 1 = 4. Essi sono le soluzioni dell'equazione.
Come nell'aritmetica, anche nell'algebra è importante sapere come debbano essere interpretate le espressioni matematiche. Ciò è stabilito dalle regole dell'ordine delle operazioni.
È necessario essere in grado di semplificare le espressioni algebriche. Per esempio, l'espressione
- − 4(2a + 3) − a
può essere scritta nella forma equivalente
- − 9a − 12.
Le equazioni più semplici da risolvere sono quelle lineari, come
- 2x + 3 = 10
La tecnica fondamentale è quella di aggiungere, sottrarre, moltiplicare o dividere entrambi i membri di un'equazione per lo stesso numero, e, ripetendo più volte questo processo, arrivare ad esprimere direttamente il valore della x. Nell'esempio precedente, se noi sottraiamo 3 da entrambi i membri, otteniamo
- 2x = 7
e dividendo entrambi i membri per 2, otteniamo la soluzione
Equazioni come
sono note come equazioni quadratiche e si risolvono con una formula risolutiva.
Espressioni o affermazioni possono contenere molte variabili, da cui potrebbe essere possibile o impossibile ricavare il valore di alcune variabili. Per esempio:
- (x − 1)2 = 0y
Dopo alcuni semplici passaggi algebrici, possiamo dedurre che x = 1, ma non possiamo dedurre quale sia il valore di y. Comunque, se noi avessimo avuto un'altra equazione nelle incognite x e y, avremmo potuto ottenere la risposta tramite un sistema di equazioni. Per esempio:
- 4x + 2y = 14
- 2x − y = 1
Ora, moltiplichiamo la seconda per 2, ottenendo le seguenti espressioni:
- 4x + 2y = 14
- 4x − 2y = 2
Poiché abbiamo moltiplicato l'intera equazione per due (ossia entrambi i membri), abbiamo in realtà ottenuto un'affermazione equivalente. Ora possiamo combinare le due equazioni, sommando membro a membro:
- 8x = 16
In questo modo abbiamo ottenuto una equazione in una sola incognita, che possiamo facilmente risolvere dividendo per 8 e ottenendo x = 2.
Ora scegliamo una delle due equazioni di partenza.
- 4x + 2y = 14
Sostituiamo 2 al posto di x.
- 4(2) + 2y = 14
Semplifichiamo
- 8 + 2y = 14
- 2y = 6
E risolviamo per y, ottenendo 3. La soluzione di questo problema è x = 2 e y = 3, ossia la coppia (2, 3).
Leggi di algebra elementare
- L' addizione è un'operazione commutativa.
- La sottrazione è l'inverso dell'addizione.
- Sottrarre equivale ad aggiungere un numero negativo:
- a − b = a + ( − b)
- La moltiplicazione è un'operazione commutativa.
- La divisione è l'inverso della moltiplicazione.
- Dividere è lo stesso che moltiplicare per il reciproco:
- L'esponenziazione non è un'operazione commutativa.
- La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione: c(a + b) = ca + cb.
- La proprietà distributiva dell'esponenziazione rispetto alla divisione: (ab)c = acbc.
- Come combinare gli esponenti: abac = ab + c.
- Se a = b e b = c, alloran a = c (transitività dell'uguaglianza).
- a = a (riflessività dell'uguaglianza).
- Se a = b allora b = a (simmetria dell'uguaglianza).
- Se a = b e c = d allora a + c = b + d.
- Se a = b allora a + c = b + c per ogni c, per via della riflessività dell'uguaglianza.
- Se a = b e c = d allora ac = bd.
- Se a = b allora ac = bc per ogni c per via della riflessività dell'uguaglianza.
- Se due simboli sono uguali, allora uno può essere sostituito con l'altro.
- Se a > b e b > c allora a > c (transitività della disuguaglianza).
- Se a > b allora a + c > b + c per ogni c.
- Se a > b e c > 0 allora ac > bc.
- Se a > b e c < 0 allora ac < bc.