Algebra astratta
L'algebra astratta è il campo della matematica che si occupa dello studio delle strutture algebriche come gruppi, anelli e campi. Essa parte dallo studio degli "insiemi privi di struttura" (o insiemistica vera e propria), per analizzare, via via, insiemi sempre più strutturati, cioè dotati di una o più leggi di composizione.
L'espressione "algebra astratta" viene utilizzata per distinguere questo campo di studi dall'"algebra elementare" che insegna le regole per manipolare le formule e le espressioni algebriche che utilizzano numeri reali e complessi.
Storicamente, le strutture algebriche sono solitamente nate prima in altri campi della matematica, dove furono specificate assiomaticamente, e furono quindi studiate come oggetti a sé stanti nell'algebra astratta. Per questo motivo, l'algebra astratta ha numerose fruttuose connessioni con tutti gli altri rami della matematica.
Esempi di strutture algebriche con una singola operazione binaria sono:
Esempi più complessi includono:
- anelli e campi
- moduli e spazi vettoriali
- algebre associative e algebre di Lie
- reticoli e algebre di Boole
Nell'algebra universale, tutte queste definizioni e proprietà sono raccolte per essere applicate a tutte le strutture algebriche nello stesso modo. Tutte le classi di oggetti elencate sopra, insieme con la nozione di omomorfismo, formano le categorie, e la teoria delle categorie fornisce spesso il formalismo necessario per tradurre tra differenti strutture algebriche e per confrontarle.
Collegamenti esterni
- John Beachy: Abstract Algebra On Line, Una lista esauriente di definizioni e teoremi.
- Joseph Mileti: Museo Matematico: Abstract Algebra, una buona introduzione all'argomento in termini di vita reale.
Bibliografia
- Lucio Lombardo-Radice: Istituzioni di algebra astratta. Feltrinelli, Milano 1965,1977.